Теорема Гріна: відмінності між версіями

'''ТеоремаТеоре́ма ГрінаГрі́на''' встановлює зв'язок між [[Криволінійний інтеграл|криволінійним інтегралом]] по замкнутому контуру <math>C</math> і [[подвійний інтеграл|подвійним інтегралом]] по області <math>D</math>, обмеженій цим контуром. Фактично, ця теорема є окремим випадком загальнішої [[Теорема Стокса|теореми Стокса]]. Теорема названа на честь англійського математика [[Джордж Грін|Джорджа Гріна]].

[[Файл:Green's-theorem-simple-region-inverse-direction.svg|thumb|250px|right|<math>D</math> &nbsp;— область, обмежена замкнутою кривою <math>C</math>]]

Нехай <math>C</math> &nbsp;— додатноно орієнтована кусково-гладка замкнута крива на площині, а <math>D</math> -&nbsp;— область, обмежена кривою <math>C</math>. Якщо [[Функція (математика)|функції]] <math>P = P(x,y)</math>, <math>Q = Q(x,y)</math> визначені в області <math>D</math> і мають неперервні [[часткова похідна|часткові похідні]] <math>\frac{\partial P}{\partial y}</math>, <math>\frac{\partial Q}{\partial x}</math>, то

: <math>\oint_{C} P \,dx + Q \,dy = \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \,dx\,dy</math>

Нехай область <math>D</math> &nbsp;— криволінійна трапеція (область, правильна в напрямі <math>OY</math>):

Інтеграл по <math>C_1</math> береться із знаком "«мінус"», оскільки згідно орієнтації контура <math>C</math> напрям обходу даної частини &nbsp;— від <math>b</math> до <math>a</math>.

: <math>\int\limits_{C} P \,dx + Q \,dy = \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \,dx\,dy</math>

* ''Г.&nbsp;М. &nbsp;Фихтенгольц'' Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. III, 1969, Москва: Наука.