Нерівність Єнсена: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Erud (обговорення | внесок) м перейменував «Нерівність Йєнсена» на «Нерівність Єнсена» поверх перенаправлення |
Erud (обговорення | внесок) оформлення |
||
Рядок 1:
'''Нерівність
== Дискретний випадок ==
Для [[дійсні числа|дійсної]] [[опукла функція|опуклої функції]] φ, та чисел ''x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,
: <math>\varphi\left(\frac{\sum a_i x_i}{\sum a_i}\right) \le \frac{\sum a_i \varphi (x_i)}{\sum a_i};</math>
нерівність міняє знак, коли
Частковим випадком є:
: <math>\varphi\left(\frac{\sum x_i}{n}\right) \le \frac{\sum \varphi (x_i)}{n}.</math>
Позначивши
<math>f\left(\sum^n_{i=1}\lambda_ix_i\right)\leqslant \sum^n_{i=1}\lambda_if(x_i),</math>
Рядок 26:
== Імовірнісне формулювання ==
Нехай <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>
Нехай також <math>\varphi\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>
Тоді
: <math>\varphi(\mathbb{E}[X]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X)]</math>,
Де <math>\mathbb{E}[\cdot]</math>
Більш загально теорему можна сформулювати для умовного математичного очікування.
Нехай додатково маємо <math>\mathcal{G}\subset \mathcal{F}</math>
: <math>\varphi(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X)|\mathcal{G}]</math>,
де <math>\mathbb{E}[\cdot|\mathcal{G}]</math> позначає [[умовне математичне очікування]] відносно σ-алгебри <math>\mathcal{G}</math>.
Рядок 44:
== Доведення ==
=== Дискретний випадок ===
Якщо ''λ''<sub>1</sub> і ''λ''<sub>2</sub>
: <math>\varphi(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+\lambda_2\,\varphi(x_2)\text{ for any }x_1,\,x_2.</math>
Цю нерівність можна узагальнити: якщо ''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>,
: <math>\varphi(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2+\cdots+\lambda_n x_n)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+\lambda_2\,\varphi(x_2)+\cdots+\lambda_n\,\varphi(x_n),</math>
для будь-яких ''x''<sub>1</sub>,
Дискретний випадок нерівності Єнсена може бути доведений [[математична індукція|методом математичної індукції]]. Згідно припущення індукції твердження справедливе для ''n'' = 2</sub>. Припустимо воно справедливе для певногго даного ''n'' і потрібно довести нерівність для ''n'' + 1. Принаймі одне ''λ''<sub>''i''</sub> є строго додатнім, припустимо(без втрати загальності) ''λ''<sub>1</sub>. За означенням [[опукла функція|опуклості]]:
: <math>\varphi\left(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i x_i\right)= \varphi\left(\lambda_1 x_1+(1-\lambda_1)\sum_{i=2}^{n+1} \frac{\lambda_i}{1-\lambda_1} x_i\right)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+(1-\lambda_1) \varphi\left(\sum_{i=2}^{n+1}\left( \frac{\lambda_i}{1-\lambda_1} x_i\right)\right).</math>
Оскільки <math>\scriptstyle \sum_{i=2}^{n+1} \lambda_i/(1-\lambda_1)\, =\,1</math>, до другого доданку правої сторони останньої формули можна застосувати припущення [[математична індукція|індукції]], після чого отримуємо бажаний результат.
== Замітки ==
<references/>
== Дивись також ==
* [[Нерівність Гельдера]]
* [[Нерівність Мінковського]]
* [[Опукла функція]]
== Джерела ==
|