Відмінності між версіями «Нерівність Єнсена»

оформлення
м (перейменував «Нерівність Йєнсена» на «Нерівність Єнсена» поверх перенаправлення)
(оформлення)
'''Нерівність ЙєнсенаЄнсена''' &nbsp;— зв'язує [[визначений інтеграл]] [[опукла функція|опуклої функції]] та значення цієї функції від інтеграла. Вона була доведена данським математиком Йоганом Єнсеном у 1906 році.<ref>{{cite journal|last=Jensen|first=J. L. W. V.|author=Johan Jensen|date=1906|title=Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs moyennes|journal=Acta Mathematica|volume=30|issue=1|pages=175–193|doi=10.1007/BF02418571}}</ref>
 
== Дискретний випадок ==
Для [[дійсні числа|дійсної]] [[опукла функція|опуклої функції]] φ, та чисел ''x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,...,x<sub>n</sub>'' з її області визначення та [[додатнє число|додатніх чисел]] ''a<sub>i</sub>'', справджується:
 
: <math>\varphi\left(\frac{\sum a_i x_i}{\sum a_i}\right) \le \frac{\sum a_i \varphi (x_i)}{\sum a_i};</math>
 
нерівність міняє знак, коли φ &nbsp;— [[ввігнута функція]].
 
Частковим випадком є:
: <math>\varphi\left(\frac{\sum x_i}{n}\right) \le \frac{\sum \varphi (x_i)}{n}.</math>
 
Позначивши <math>\lambda_i=\frac{a_i}{\sum^n_{i=1}a_i}</math> отримаємо еквівалентне формулювання:
 
<math>f\left(\sum^n_{i=1}\lambda_ix_i\right)\leqslant \sum^n_{i=1}\lambda_if(x_i),</math>
 
== Імовірнісне формулювання ==
Нехай <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> &nbsp;— [[простір імовірностей]], і <math>X\colon\Omega \to \mathbb{R}</math> &nbsp;— визначена на ньому випадкова величина.
Нехай також <math>\varphi\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> &nbsp;— інтегровна [[опукла функція]].
Тоді
 
: <math>\varphi(\mathbb{E}[X]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X)]</math>,
 
Де <math>\mathbb{E}[\cdot]</math> -&nbsp;— [[математичне очікування]].
 
Більш загально теорему можна сформулювати для умовного математичного очікування.
 
Нехай додатково маємо <math>\mathcal{G}\subset \mathcal{F}</math> -&nbsp;— [[Сигма-алгебра|під-σ-алгебра]] [[Випадкова подія|подій]]. Тоді
: <math>\varphi(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X)|\mathcal{G}]</math>,
де <math>\mathbb{E}[\cdot|\mathcal{G}]</math> позначає [[умовне математичне очікування]] відносно σ-алгебри <math>\mathcal{G}</math>.
 
== Доведення ==
 
=== Дискретний випадок ===
Якщо ''λ''<sub>1</sub> і ''λ''<sub>2</sub> -&nbsp;— два довільні додатні дійсні числа, такі що: ''λ''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;''λ''<sub>2</sub>&nbsp;=&nbsp;1 тоді враховуючи [[опукла функція|опуклість]] <math>\scriptstyle\varphi</math> маємо
 
: <math>\varphi(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+\lambda_2\,\varphi(x_2)\text{ for any }x_1,\,x_2.</math>
 
Цю нерівність можна узагальнити: якщо ''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>, ..., ''λ''<sub>''n''</sub> є додатніми дійсними числами, такими що ''λ''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;...&nbsp;+&nbsp;''λ''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;1, тоді
 
: <math>\varphi(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2+\cdots+\lambda_n x_n)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+\lambda_2\,\varphi(x_2)+\cdots+\lambda_n\,\varphi(x_n),</math>
 
для будь-яких ''x''<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''x''<sub>''n''</sub>.
 
Дискретний випадок нерівності Єнсена може бути доведений [[математична індукція|методом математичної індукції]]. Згідно припущення індукції твердження справедливе для ''n''&nbsp;=&nbsp;2</sub>. Припустимо воно справедливе для певногго даного ''n'' і потрібно довести нерівність для ''n''&nbsp;+&nbsp;1. Принаймі одне ''λ''<sub>''i''</sub> є строго додатнім, припустимо(без втрати загальності) ''λ''<sub>1</sub>. За означенням [[опукла функція|опуклості]]:
 
: <math>\varphi\left(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i x_i\right)= \varphi\left(\lambda_1 x_1+(1-\lambda_1)\sum_{i=2}^{n+1} \frac{\lambda_i}{1-\lambda_1} x_i\right)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+(1-\lambda_1) \varphi\left(\sum_{i=2}^{n+1}\left( \frac{\lambda_i}{1-\lambda_1} x_i\right)\right).</math>
 
Оскільки <math>\scriptstyle \sum_{i=2}^{n+1} \lambda_i/(1-\lambda_1)\, =\,1</math>, до другого доданку правої сторони останньої формули можна застосувати припущення [[математична індукція|індукції]], після чого отримуємо бажаний результат.
== Замітки ==
<references/>
 
== Дивись також ==
* [[Нерівність Гельдера]]
* [[Нерівність Мінковського]]
* [[Опукла функція]]
 
== Джерела ==
61 015

редагувань