|
: <math>\mathbb{P}(A_1 \cap A_2) = \mathbb{P}(A_1)\cdot \mathbb{P}(A_2),\; \forall A_1 \in \mathcal{A}_1,\, A_2\in \mathcal{A}_2</math>.
Якщо замість двох є ціле сімейство (можливо нескінчене) сигма-алгебр, то для нього визначається попарна і спільна незалежність очевидним чином.
==Незалежні випадкові величини==
'''Означення''' Дискретні випадкові величини <math>\xi_1, \xi_2, \ldots , \xi_n</math> називаються '''незалежними''', якщо для довільних множин <math>B_1,B_2,\ldots , B_n</math>:
:<math>\mathbb{P}(\xi_1 \in B_1 , \xi_2 \in B_2 , \ldots , \xi_n \in B_n ) = \prod_{k=1}^n \mathbb{P} ( \xi_k \in B_k)</math>
'''Означення 5.''' Нехай дано сімейство випадкових величин <math>(X_i)_{i\in I}</math>, отже <math>X_i:\Omega \to \mathbb{R},\; \forall i\in I</math>. Тоді ці випадкові величини '''попарно незалежні''', якщо попарно незалежні [[сигма-алгебра|породжені ними σ-алгебри]] <math>\{\sigma(X_i)\}_{i\in I}</math>. Випадкові величини '''незалежні в сукупності''', якщо такі породжені ними σ-алгебри.
Визначення, дане вище, еквівалентно будь-якому іншому з наведених нижче. Дві випадкові величини <math>X,Y</math> незалежні тоді і лише тоді, коли:
* Для будь-яких <math>A, B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})</math>,
:<math>\mathbb{P}(X \in A, Y \in B) = \mathbb{P}(X\in A) \cdot \mathbb{P}(Y \in B)</math>;
* Для будь-яких [[борелівська функція|борелівських функцій]] <math>f, g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> випадкові величини <math>f(X), g(Y)</math> незалежними;
* Для будь-яких обмежених борелівських функцій <math>f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>
:<math>\mathbb{E}\left[f(X) g(Y)\right] = \mathbb{E}\left[f(X)\right] \cdot \mathbb{E}\left[g(Y)\right]</math>;
===Властивості незалежних випадкових величин===
* Неай <math>\mathbb{P}^{X,y}</math> - розподіл випадкового вектора <math>(X,y)</math>, <math>\mathbb{P}^X</math> - розподіл <math>X</math> і <math>\mathbb{P}^Y</math> - розподіл <math>Y</math>. Тоді <math>X,Y</math> незалежними тоді і лише тоді, коли
:<math>\mathbb{P}^{X,y} = \mathbb{P}^X \otimes \mathbb{P}^Y</math>,
де <math>\otimes</math> позначає (прямий) [[добуток мір]];
* Нехай <math>F_{X,y}, F_x, F_y</math> - [[функція розподілу ймовірностей|кумулятивні функції розподілу]] <math>(X,y), X, Y</math> відповідно. Тоді <math>X,Y</math> незалежні тоді і лише тоді, коли
:<math>F_{X,y}(x,y) = F_x(x)\cdot F_y(y)</math>;
* Нехай випадкові величини <math>X,Y</math> [[розподіл ймовірностей|дискретні]]. Тоді вони незалежні тоді і лише тоді, коли
:<math>\mathbb{P}(X = i, Y = j) = \mathbb{P}(X=i) \cdot \mathbb{P}(Y = j)</math>.
* Нехай випадкові величини <math>X,Y</math> спільно абсолютно безперервні тобто їх спільний розподіл має щільність <math>f_{X,y}(x,y)</math>. Тоді вони незалежні тоді і лише тоді, коли
:<math>f_{X,y}(x,y) = f_x(x) \cdot f_y(y),\; \forall (x,y)\in \mathbb{R}^2</math>,
де <math>f_X(x), f_y(y)</math> - щільність випадкових величин <math>X</math> і <math>Y</math> відповідно.
== Див. також ==
| 