Нерівність Фрідріхса: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
м додано Категорія:Простори Соболєва за допомогою HotCat (з англовікі), вікіфікація, уточнення стаб-шаблону |
Немає опису редагування |
||
Рядок 11:
Близьким результатом є нерівність Пуанкаре.
== Випадок однієї змінної ==
Якщо функція <math>u</math> є [[Диференційовна функція|диференційовною]] на відрізку <math>[a,b]</math> і її [[похідна]] є [[Інтеграл Рімана|інтегровною]] на цьому відрізку, тоді:
::<math>\int\limits_{a}^{b} u^2(x) dx \leqslant \frac{(b-a)^2}{2} \int\limits_{a}^{b} \left ({du \over dx} \right)^2 dx.</math>
Дана нерівність є сильнішою, ніж у загальній версії оскільки замість константи <math>d^2</math>, яка у цьому випадку є рівною <math>(b-a)^2</math> використовується <math>\frac{(b-a)^2}{2}.</math>
Для доведення цього варіанту нерівності, згідно із [[Формула Ньютона — Ляйбніца|фундаментальною теоремою аналізу]] можна записати (із відповідною зміною позначень незалежної змінної) <math>u(x) = \int_{a}^{b} {du \over dt} dt.</math> Тоді враховуючи інтегральну версію [[Нерівність Коші — Буняковського|нерівності Коші — Буняковського]] одержуються нерівності:
::<math>u^2(x) = \left ( \int_{a}^{x} {du \over dt} dt \right )^2
\leqslant \int_{a}^{x} \left ( {du \over dt} \right )^2dt \cdot \int_{a}^{x} 1 dt \leqslant
(x-a) \int\limits_{a}^{b} \left ({du \over dx} \right)^2 dt.</math>
Інтегруючи крайній лівий і правий члени нерівності на інтервалі <math>[a,b]</math> одержується одновимірний варіант нерівності Фрідріхса.
{{Матаналіз-доробити}}
| |||