Компактний простір: відмінності між версіями

* Кожна [[Замкнута множина|замкнутазамкнена підмножина]] компактного [[топологічний простір|топологічного простору]] є компактною

* Компактна підмножина [[гаусдорфів простір|гаусдорфового простору]] є замкнутазамкнена.

* У компактних просторах кожне центроване сімейство замкнутихзамкнених множин, тобто сімейство, в якому [[перетин множин|перетини]] скінченних підсімейств не порожні, має непорожній перетин. Див. також [[Лема про вкладені відрізки]].

* ВсякаКожна [[неперервна функція]] із компактного топологічного простору в <math>\mathbb{R}^n</math> є обмеженою і досягає свого найбільшого і найменшого значення.

* Образ компактного топологічного простору при [[неперервне відображення|неперервному відображенні]] тежтакож є компактним

* Для скінченовимірних [[евклідів простір|евклідових просторів]] [[підпростір]] є компактом тоді і тільки тоді, коли він обмежений і замкнений. Про простори, що мають таку властивість, говорять, що вони задовольняють [[Теорема Гейне-Бореля|властивості Гейне — Бореля]]. Див. також [[Теорема Больцано — Вейерштрасса|Теорема Больцано — Вейєрштрасса]].

* [[Лема Лебега]]: Для будь-якого компактного метричного простору і [[відкрите покриття|відкритого покриття]] <math>\{V_\alpha\},\ \alpha\in A</math> існує додатне число <math>\,\! r</math> таке, що будь-яка підмножина, діаметр якої менший за <math>\,\! r</math>, міститься в одній з множин <math>\,\! V_\alpha</math>. Таке число називаєтьсяназивають числом Лебега.

* У компактних просторах кожен [[ультрафільтр]] сходитьсязбігається принаймні до однієї точки.

* Інваріантними компактними множинами є положення рівноваги, періодичні траекторіїтраєкторії, сепаратриси, граничні цикли, інваріантні тори й інші множини й їх скінченні об'єднання. Такі множини називаютьсяназивають також локалізуючими<ref>{{Cite book

*в будь-якому топологічному просторі множина, що скаладаєтьсяскладається з однієї точки, завжди компактна.

* замкнутізамкнені ій обмежені множини в <math>\mathbb{R}^n</math>

* [[теорема Асколі — Арцела]] дає характеризацію компактних множин для деяких функціональних просторів. Розглянемо простір <math>C(X)</math> дійснихнеперервних функцій на метричному компактному просторі <math>X</math> з нормою <math>\|f\|=\sup_x |f(x)|</math>. Тоді замикання множини функцій <math>F</math> в <math>C(X)</math> компактнокомпактне тоді і тільки тоді, коли <math>F</math> рівномірно обмежена і рівностепенево (одностайно) неперервна.

Бікомпактний простір — термін, введений [[Александров Павло Сергійович|П.С.Александровим]] як посилення введеного [[Моріс Рене Фреше|М.Фреше]] поняття компактного простору: топологічний простір компактний — в первинному смислі слова — якщо в кожному зліченому відкритому покритті цього простору міститься його скінченне підпокриття. Проте подальший розвиток математики показав, що поняття бікомпактності настільки важливішийважливіше за первинне поняття компактності, що в наш час під компактністю розуміють саме бікомпактність, а компактні в старому смислі простори називають '''злічено-компактними'''. Обидва поняття рівносильні в застосуванні до [[метричний простір|метричних просторів]].