Теорема Цермело: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Олюсь (обговорення | внесок) м Перенаправлено на Цілком впорядкована множина#Теорема Цермело |
Створено шляхом перекладу сторінки «Теорема Цермело» Мітки: Вилучено перенаправлення Переклад вмісту «Переклад вмісту 2» |
||
Рядок 1:
'''Теорема Цермело''' — теорема [[Теорія множин|теорії множин]], яка стверджує, що на будь-якій [[Множина|множині]] можна ввести таке [[відношення порядку]], що множина буде [[Цілком впорядкована множина|цілком упорядкованою]].
#Redirect [[Цілком впорядкована множина#Теорема Цермело]]▼
Одна з найважливіших теорем у теорії множин. Названа на честь німецького математика [[Ернст Цермело|Ернста Цермело]]. Теорема Цермело еквівалентна [[Аксіома вибору|аксіомі вибору]], а отже, і [[Лема Цорна|лемі Цорна]].
== Історія ==
[[Георг Кантор]] вважав, що твердження цієї теореми є «фундаментальним принципом думки».<ref>Georg Cantor (1883), “Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten”, ''Mathematische Annalen'' 21, стр. 545–591.</ref> Дійсно, будь-яку [[Зліченна множина|зліченну множину]] можна тривіально цілком упорядкувати, наприклад, перенісши порядок із множини [[Натуральні числа|натуральних чисел]]. Однак більшості математиків складно уявити повний порядок вже, наприклад, множини <math>\mathbb{R}</math> дійсних чисел. 1904 року {{Не перекладено|Дьюла Кьоніг||en|Gyula Kőnig}} повідомив, що довів, що такого впорядкування не може існувати. Через кілька тижнів [[Фелікс Гаусдорф]] виявив помилку в доведенні.<ref>{{Citation|title=Hausdorff on Ordered Sets|volume=25|series=History of Mathematics|first=J. M.|last=Plotkin|publisher=American Mathematical Society|isbn=9780821890516|year=2005|contribution=Introduction to "The Concept of Power in Set Theory"|pages=23–30|url=https://books.google.com/books?id=M_skkA3r-QAC&pg=PA23}}</ref> Однак незабаром Ернст Цермело опублікував свою найвідомішу роботу,<ref>[http://math.sfsu.edu/smith/Math800/Outlines/Zermelo1904.pdf ''Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann''.] Mathematische Annalen, 1904.</ref> в якій довів, що будь-яку множину можна цілком упорядкувати. Його доведення спиралося на вперше сформульовану в цій самій роботі аксіому вибору. Викликана цим фактом дискусія спонукала Цермело згодом упритул зайнятися аксіоматизацією теорії множин, що привело до створення [[Теорія множин Цермело — Френкеля|аксіоматики Цермело — Френкеля]].
== Доведення ==
Доведення див. у статті [[Твердження, еквівалентні аксіомі вибору]].
== Див. також ==
* [[Аксіома вибору]]
* [[Лема Цорна]]
== Література ==
* ''Верещагин Н. Шень А.'' Начала теории множеств. — 4-е изд. — {{М.}}: МЦНМО, 2012. — 112 с. — ISBN 978-5-4439-0012-4.
== Примітки ==
{{Reflist}}
[[Категорія:Історія математики]]
[[Категорія:Теореми теорії множин]]
[[Категорія:Впорядковані множини]]
| |||