Конус: відмінності між версіями
[перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
стиль |
||
Рядок 1:
{{otheruses
[[Файл:Cone 3d.png|thumb|Прямий і похилий конуси]]
[[Файл:Cutting cone.svg|thumb|[[Зрізаний конус|Зрізаний круговий конус]]]]
'''Ко́нус'''
За [[ДСТУ]]: '''конус''' — узагальнений термін, під яким залежно від конкретних умов розуміють [[конічна поверхня|конічну поверхню]], конічну деталь чи конічний елемент<ref>ДСТУ 2499-94 Конуси та конічні з'єднання. Терміни та визначення.</ref>.
Відрізок, опущений перпендикулярно з вершини на площину основи (а також його довжина), називається '''висотою конуса'''. Якщо площа основи має скінченне значення, то об'єм конуса також має скінченне значення і дорівнює третині добутку висоти на площу основи. Таким чином всі конуси, що спираються на дану основу, і мають вершину в площині, паралельній цій основі, мають рівний об'єм, оскільки їх висоти рівні. Якщо основою конуса є многокутник, тоді конус стає [[піраміда (геометрія)|пірамідою]]. Таким чином піраміди є підмножиною конусів.
Рядок 13:
== Означення кругового конуса ==
У курсі шкільної геометрії розглядають конус (точніше, [https://formula.kr.ua/tila-obertannya/pryamij-krugovij-konus.html прямий круговий конус]). Конусом (точніше, [[круг]]овим конусом) називається тіло, яке складається із круга
=== Конус обертання ===
Рядок 27:
Конус, що спирається на еліпс, гіперболу чи параболу називається відповідно еліптичним, гіперболічним чи параболічним конусом (останні два мають нескінченний об'єм).
== Площа поверхні конуса ==
[[Файл:Stozek schemat.svg|thumb|Прямий круговий конус]]
Рядок 36 ⟶ 37:
: <math>S_b = \pi r l</math>,
де ''r'' та ''l'' — радіус кола основи та довжина твірної бічної поверхні відповідно.
== Об'єм конуса ==
У загальному випадку:
Рядок 45 ⟶ 47:
Формулу об'єму конуса легко отримати із використанням інтегрального числення. Ми знаємо, що об'єм твердого тіла дорівнює інтегралу площі його перерізу вздовж певної осі. Отже, з точністю до сталої, це інтеграл <math>\int x^2 dx = \tfrac{1}{3} x^3.</math>
== Кут конуса ==
Цей термін означає кут <math>\alpha</math> при вершині в осьовому перерізі конуса.
: <math> \alpha = 2 \operatorname{arctg} \frac{r}{h}</math>
== Вписані та описані тіла ==
=== Конус, описаний навколо піраміди ===
Конус можна описати навколо піраміди, якщо її основа
=== Конус, вписаний у піраміду ===
Конус можна вписати в піраміду, якщо її основа
=== Куля, описана навколо конуса ===
{{Див. також|Описана сфера}}
[[Файл:В перерізі.png|альт=|міні|Куля, описана навколо конуса]]Кулю можна описати навколо довільного конуса. Коло основи конуса і вершина конуса лежать на поверхні кулі. Центр кулі лежить на осі конуса і збігається з центром кола, описаного навколо трикутника, який є осьовим перерізом конуса. Переріз площиною, що проходить через вісь конуса (осьовий переріз). Об'єм кулі, описаної навколо прямого кругового конуса:
: <math>V_k={1 \over 6} \pi \frac{l^6}{ (l^2-r^2) \sqrt{l^2-r^2}}</math>, де <math> l </math> — твірна конуса; <math> r </math> — радіус основи конуса.
: Радіус кулі R, радіус основи конуса r і висота конуса H пов'язані співвідношенням:[[Файл:Осьовий переріз .png|міні|Куля, вписана в конус]]<math>R^2=\bigl(H-R\bigr)^2+r^2</math>
Це співвідношення справедливе зокрема для випадку, коли <math>H\leq R</math>.
Рядок 66 ⟶ 71:
=== Куля, вписана в конус ===
{{Див. також|Вписана сфера}}
Кулю можна вписати в довільний конус. Куля дотикається основи конуса в його центрі і бічної поверхні конуса по колу, що лежить в площині, яка паралельна основі конуса. Центр кулі лежить на осі конуса і збігається з центром кола, вписаного в трикутник, що є осьовим перерізом конуса. Радіус кулі R, радіус основи конуса r і висота конуса H пов'язані співвідношенням: <math>\frac{R}{H-R}=\frac{r}{\sqrt{H^2+r^2}}</math>
[[Файл:1912. Земляной конус на руднике Новороссийского общества.jpg|міні|Земляний конус]]
Форму конусів мають насипані на горизонтальній поверхні купи піску, зерна, вугілля, породи, щебеню тощо. Кожному такому матеріалу відповідає ''кут природного укосу''<ref>{{Cite web|title=Геометрія (Бевз, Владімірова) 11 клас|url=https://pidruchnyk.com.ua/448-geometrya-bevz-vladmrova-11-klas.html|website=Шкільні підручники онлайн|accessdate=2019-12-25|language=uk}}</ref> ''-'' кут нахилу твірної до площини основи конуса. Для піску він дорівнює приблизно 30°, для вугілля
== Див. також ==
Рядок 84 ⟶ 89:
== Джерела ==
* Геометрія. 10-11 класи [Текст]: пробний підручник / Афанасьєва О. М. [та ін.]. — Тернопіль: Навчальна книга- Богдан, 2003. — 264 с. — ISBN 966-692-161-8
* Геометрія. 11 клас [Текст]: підручник для загальноосвітніх навчальних закладів: академічний рівень, профіл.рівень / Бевз Г. П. [та ін.]. — Київ: Генеза, 2011. — 336 с.
* Геометрія: Стереометрія: 10-11 класи [Текст]: підручник / Погорєлов О. В. — Київ: Освіта, 2001. — 128 с.
* Наочний довідник з геометрії
[[Категорія:Геометричні тіла]]
|