Послідовність: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
|||
Рядок 34:
# Послідовність можна задати таблицею, у якій навпроти кожного члена послідовності вказують його порядковий номер.
# Послідовність можна задати формулою, за якою можна знайти будь-який член послідовності, знаючи його номер.
# Спочатку вказати перший або кілька перших членів послідовності, а потім — умову, за якою можна визначити будь-який член послідовності за попереднім. Такий спосіб задання послідовності називають рекурентним. Іншими словами, для таких послідовностей окрім формули, яка виражає <math>a_{n+1}</math> через <math>a_{1},...,a_{n},</math> необхідновказати один або декілька перших членів. За обчислення таких членів відбувається "повернення назад". Найпростішими випадками є [[арифметична прогресія]] й [[геометрична прогресія]].
=== Приклади ===▼
* Натуральні парні числа — (2,4,6,8,10,12,14,…). Функція, яка задає послідовність — <math>a_n=2n</math>. [[Рекурентне співвідношення|Рекурсивне визначення]] — <math>a_n=a_{n-1}+2, a_1=2</math>.▼
* [[Послідовність Фібоначчі]] — (1,1,2,3,5,8,13,21,34,…). Рекурсивне визначення — <math>a_n=a_{n-1}+a_{n-2}, a_1=1, a_2=1</math>.▼
* [http://oeis.org/wiki/Welcome#Some_Famous_Sequences Енциклопедія послідовностей цілих чисел]▼
=== Нескінченно мала послідовність ===
Чим більший знаменник додатного дробу, тим менше значення цього дробу. За достатньо великого значення знаменника дріб стає наскілько завгодно малим, наприклад, якщо <math>n>1\,000\,000,</math> то <math>\frac{1}{n}<0,000\,001.</math> З цього слідує, що якщо <math>\lim_{n\to\infty}a_{n}=\infty,</math> то послідовність <math>\frac{1}{a_n}</math> є нескінченно малою. Це значить, що яке б додатне число <math>\varepsilon</math> не було обраним, знайдеться номер <math>N,</math> починаючи з якого виконується нерівність <math>\frac{1}{a_n}<\varepsilon.</math> Якщо не враховувати, що члени посліовності додатні, доведеться писати <math>|\frac{1}{a_n}|<\varepsilon.</math>
Більш загально, якщо послідовність <math>a_{1},...,a_{n},...</math> нескінченно велика, то послідовність <math>\frac{1}{a_1},...\frac{1}{a_n},...</math> нескінченно мала. Навпаки, якщо <math>\alpha_{1},...,\alpha_{n},...</math> - нескінченно мала послідовність, то послідовність <math>\frac{1}{\alpha_1},...\frac{1}{\alpha_n},...</math> нескінченно велика ([[Ділення на нуль|зрозуміло]], що усі <math>\alpha_{n}</math> є відмінними від нуля).
Наприклад, послідовність <math>1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},...</math> нескінченно мала, оскільки послідовність <math>1,-2,3,-4,...</math> нескінченно велика.
==== Основні властивості нескінченно малих послідовностей ====
Рядок 51 ⟶ 50:
# Якщо всі елементи нескінченно малої послідовності рівні певному числу c, то це число рівне нулю. ( c=0 )
# Якщо елементи {<math>x_n</math>} [[нескінченно велика послідовність|нескінченно великої послідовності]] відмінні від нуля, то послідовність {<math>\frac{1}{x_n}</math>} є нескінченно малою.
Щоб доказати, що задана послідовність нескінченно мала, можна користатися наступними теоремами:
# Якщо послідовності <math>(a_{n})</math> та <math>(b_{n})</math> нескінченно малі, то їх сума <math>(a_{n}+b_{n})</math> нескінченно мала.
# Якщо послідовність <math>(a_{n})</math> нескінченно мала, а послідовність <math>(\alpha_{n})</math> обмежена, то послідовність <math>(a_{n}\alpha_{n})</math> нескінченно мала. Зокрема, нескінченно малий добуток двох нескінченно малих послідовностей.
=== Границя послідовності ===
Послідовність із спільним членом <math>a_{n}=\frac{n^{2}+9}{n^{2}+4}</math> не є нескінченно малою. Але її спільний член можна записати як <math>a_{n}=1+\frac{5}{n^{2}+4},</math> тобто у вигляді суми числа 1 й нескінченно малої послідовності (<math>\frac{5}{n^{2}+4}</math>). Тому за достатньо великих значень номера <math>|\frac{5}{n^{2}+4}|</math> стає дуже малим, а це значить що члени послідовності стають майже невідмінними від 1. У цьому випадку говорять про границю послідовності, яка дорівнює 1, та пишуть <math>\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+9}{n^{2}+4}=1.</math>
З властивостей нескінченно малих послідовностей випливають наступні властивості границь:
# Якщо <math>\lim_{n\to\infty}a_{n}=a</math> та <math>\lim_{n\to\infty}b_{n}=b,</math> то <math>\lim_{n\to\infty}(a_{n}+b_{n})=a+b</math> та <math>\lim_{n\to\infty}a_{n}b_{n}=ab.</math>
# Якщо <math>\lim_{n\to\infty}a_{n}=a,\,\,\,</math><math>\lim_{n\to\infty}b_{n}=b</math>, причому <math>b\neq0</math> та усі <math>b_{n}\neq0,</math> то <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{a}{b}.</math>
# Якщо послідовність <math>(a_{n})</math> стала, тобто усі її члени дорівнюють одному і тому самому числу, <math>a_{n}=C,</math> то й <math>\lim_{n\to\infty}a_{n}=C.</math>
# Якщо спільний член послідовності є дробом, у чисельнику й знаменнику якого стоять поліноми від <math>n,</math> які мають одий й той самий степінь, то границя цієї послідовності дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших членах: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{0}n^{k}+...+a_{k}}{b_{0}n^{k}+...+b_{k}}=\frac{a_{0}}{b_{0}}.</math> Наприклад, <math>\lim_{n\to\infty}\frac{4n^{3}-6n+1}{8n^{3}+5n^{2}+9}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.</math>
▲=== Приклади ===
▲* Натуральні парні числа
▲* [[Послідовність Фібоначчі]] — (1,1,2,3,5,8,13,21,34,…). Рекурсивне визначення — <math>a_n=a_{n-1}+a_{n-2}, a_1=1, a_2=1</math>.
▲* [
<br />
Із послідовністю пов'язане поняття розбиття. Розбиття - довільна (скінченна або нескінченна) послідовність
| |||