Диференціал (математика): відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
мНемає опису редагування Мітки: перше редагування Візуальний редактор |
|||
Рядок 17:
В позначенні Лейбніца, якщо ''x'' — змінне число тоді d''x'' позначає нескінченно малий приріст змінної ''x''. Таким чином, якщо ''y'' функція від ''x'', тоді [[похідна]] ''y'' по змінній ''x'' часто позначається <math>\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}</math>, що також може бути записано (позначення Ньютона чи Лагранжа) <math>{\dot y}(x)</math> чи <math>y'(x)</math>. Використання диференціалів в такій формі спровокувало багато критики, наприклад знаменитий памфлет The Analyst єпископа Берклі. В будь-якому разі таке позначення залишилось популярним, тому що воно наочно відображає принцип, що похідна функції ''y''(''x'') дорівнює [[нахил]]у функції в точці, що можна отримати, якщо обчислити [[границя|границю]] відношення <math>\frac{\Delta\,y}{\Delta\,x}</math> приросту ''y'' в залежності від приросту ''x'', якщо приріст ''x'' прямує до нуля. Диференціали також застосовують в аналізі розмірності, де диференціал наприклад d''x'' маю таку саму розмірність як і змінна ''x''.
[[Сума Рімана]] є певного виду [[Апроксимація|наближенням]] інтегралу за допомогою скінченної суми. Вона названа на честь німецького математика із дев'ятнадцятого століття [[Бернгард Ріман|Бернгарда Рімана]]. Його одним із самих загальних застосувань є апроксимація площі, що обмежують графіки функцій або криві, а також довжини кривих і інші наближення.
Диференціал використовують в позначенні [[інтеграл]]а, тому що інтеграл можна вважати нескінченною сумою нескінченно малих величин: площа під графіком функції обчислюється як сума площ нескінченно тонких стрічок. У виразі
Рядок 25 ⟶ 27:
== Формальні означення ==
Об'єм кубу - функція від довжини його сторони, <math>V=x^{3}.</math> За рахунок [[Теплове розширення|лінійного термічного розширення]] сторони кубу збільшуються, а тому збільшується й його об'єм. Якщо довжина сторони куба мала значення <math>x</math> й збільшилася на <math>h,</math> то вона прийме значення <math>x+h</math> і об'єм куба стане рівним <math>(x+h)^{3}.</math> Величина, на яку збільшиться його об'єм, буде складати <math>(x+h)^{3}-x^{3}.</math> Цю різницю називають прирощенням об'му куба, а число <math>h</math>, яке показує, на скільки збільшилася довжина строни куба, називається прирощенням його довжини. У математиці прирощення якої-небудь величини позначається <math>\Delta x,</math> де <math>\Delta</math> - велика грецька літера "дельта", яка нагадує про латинське слово differentia - "різниця".
=== Випадок однієї змінної ===
Рядок 49 ⟶ 52:
<math>\Delta f=\sum^{n}_{i=1}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\Delta x_{i}+R_{1},</math>
де <math>R</math> нескінченно мале у порівнянні із <math>\sqrt{\Delta x^{2}_{1}+\Delta x^{2}_{2}+...+\Delta x^{2}_{n}}.</math> Вираз <math>df=\sum^{n}_{i=1}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\Delta x_{i}</math> є диференціалом функції багатьох змінних.<br />
=== Відображення між евклідовими просторами ===
| |||