Нормальна система координат: відмінності між версіями

Нехай <math>M</math> є гладким многовидом із афінною зв'язністю <math>\nabla</math>. Для дотичного простору <math>T_pM</math> у точці <math>p \in M</math> для кожного <math>V \in T_pM</math> існує однозначно визначена [[Геодезична лінія|геодезична крива]] <math>\gamma_V</math>, задана на якомусь проміжку (-''t,t),'' тобто <math>\nabla_{\dot \gamma(t)} \dot \gamma(t) = 0</math> на цьому проміжку і <math>\dot \gamma_V(0) = Y</math>. Ці геодезичні лінії задають [[експоненційне відображення]] на відкритій підмножині <math>\mathcal{E}_p \subset T_pM</math>:

:: За означенням афінної зв'язності і символів Крістофеля для координатного базиса <math>\nabla_{X_i}X_j(p) = \sumsum_{k=1}^n \Gamma_{ij}^k (p) X_k (p).</math> За означенням тензора кручення <math>T(X_i,X_j) = \nabla_{X_i} X_j - \nabla_{X_j} X_i - [X_i,X_j]</math> і оскільки [[Дужка Лі векторних полів|дужки Лі]] координатних векторних полів є нульовими і за умовою тензор кручення рівним нулю, то <math>\nabla_{X_i} X_j = \nabla_{X_j} X_i.</math> Із попередніх властивостей, крива задана у нормальних координатах як <math>gamma(t) = (0,\ldots,t,\ldots,t,\ldots,0)</math> де ''t'' є на позиціях ''i'' і ''j'' а всі решта координати рівні 0, є [[Геодезична лінія|геодезичною]] і тому <math>0= \nabla_{X_i + X_j} X_i + X_j = \nabla_{X_i } X_i + \nabla_{X_j } X_j + 2 \nabla_{X_i} X_j.</math> Але усі нормальні координатні лінії, що виходять із <math>p</math> є геодезичними, то ж <math>\nabla_{X_i } X_i = \nabla_{X_j } X_j = 0,</math> а тому також <math>\nabla_{X_i } X_j = 0.</math> Звідси і всі символи Крістофеля у точці <math>p</math> є рівними нулю.