Пфаффіан: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
|||
Рядок 70:
* <math>\mbox{Pf}(BAB^T)= \det(B)\mbox{Pf}(A)</math>
:::<math>\operatorname{pf}(BAB^T) = \frac{1}{2^n n!}\sum_{\sigma\in S_{2n}}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}\bar a_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)} =
\frac{1}{2^n n!} \sum_{\sigma\in S_{2n}}\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n} \left( \sum_{k,l = 1}^{2n} b_{\sigma(2i-1),k}b_{\sigma(2i),l} a_{kl} \right )</math>
:::<math>\frac{1}{2^n n!} \sum_{\sigma\in S_{2n}}\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n} \left( \sum_{k,l = 1}^{2n} b_{\sigma(2i-1),k}b_{\sigma(2i),l} a_{kl} \right ) = \frac{1}{2^n n!} \sum_{\varphi} \sum_{\sigma\in S_{2n}}\operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n} b_{\sigma(2i-1),\varphi(2i-1)}b_{\sigma(2i),\varphi(2i)} a_{\varphi(2i-1),\varphi(2i)}.</math>
::Але для кожного конкретного відображення <math>\varphi</math> вираз <math>\sum_{\sigma \in S_{2n}} \operatorname{sgn} (\sigma) \prod_{i=1}^{n} b_{\sigma(2i-1),\varphi(2i-1)} b_{\sigma(2i),\varphi(2i)} </math> є рівним <math>\det B_\varphi,</math> де <math>B_\varphi</math> є матрицею розмірності <math>2n \times 2n</math> для якої ''i''-ий стовпець є <math>\varphi(i)</math>-стовпцем матриці <math>B.</math> Тому якщо <math>\varphi</math> не є перестановкою, деякі стовпці є однаковими і відповідний визначник є рівним нулю. В іншому випадку <math>\det B_\varphi = \sgn(\varphi)\det B.</math> Таким чином:
:::<math>\mbox{Pf}(BAB^T)= \det (B) \cdot \frac{1}{2^n n!} \sum_{\varphi \in S_{2n}} \operatorname{sgn}(\varphi) \prod_{i=1}^{n} a_{\varphi (2i-1),\varphi(2i)} = \det (B) \mbox{Pf}(A).</math>
* <math>\mbox{Pf}(\lambda A) = \lambda^n \mbox{Pf}(A)</math>
| |||