Пфаффіаном кососиметричної матриці називається деякий многочлен від її елементів, квадрат якого дорівнює визначнику цієї матриці. Як і визначник, пфаффіан є ненульовим тільки для кососиметричних матриць порядку
2
n
×
2
n
{\displaystyle 2n\times 2n}
n .
Термін «пфаффіан» був введений Артуром Келі [1]
Приклади
ред.
Pf
[
0
a
−
a
0
]
=
a
.
{\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}}=a.}
Pf
[
0
a
b
c
−
a
0
d
e
−
b
−
d
0
f
−
c
−
e
−
f
0
]
=
a
f
−
b
e
+
d
c
.
{\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc.}
Pf
[
0
λ
1
0
0
⋯
0
0
−
λ
1
0
0
0
⋯
0
0
0
0
0
λ
2
⋯
0
0
0
0
−
λ
2
0
⋯
0
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
0
0
0
0
⋯
0
λ
n
0
0
0
0
⋯
−
λ
n
0
]
=
λ
1
λ
2
⋯
λ
n
.
{\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&\lambda _{1}&0&0&\cdots &0&0\\-\lambda _{1}&0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\lambda _{2}&\cdots &0&0\\0&0&-\lambda _{2}&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0&\lambda _{n}\\0&0&0&0&\cdots &-\lambda _{n}&0\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}
Означення
ред.
Нехай
A
=
{
a
i
j
}
{\displaystyle A=\{a_{ij}\}}
2
n
×
2
n
{\displaystyle 2n\times 2n}
Пфаффіаном матриці A називається многочлен від її елементів заданий як:
pf
(
A
)
=
1
2
n
n
!
∑
σ
∈
S
2
n
sgn
(
σ
)
∏
i
=
1
n
a
σ
(
2
i
−
1
)
,
σ
(
2
i
)
{\displaystyle \operatorname {pf} (A)={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (2i-1),\sigma (2i)}}
де S 2n позначає симетричну групу порядок якої є рівним (2n )!, а sgn(σ) є знаком перестановки σ.
Еквівалентно, якщо
Π
{\displaystyle \Pi }
розбиттів множини
{
1
,
2
,
…
,
2
n
}
{\displaystyle \{1,2,\dots ,2n\}}
(
2
n
−
1
)
!
!
{\displaystyle (2n-1)!!}
α
∈
Π
{\displaystyle \alpha \in \Pi }
α
=
{
(
i
1
,
j
1
)
,
(
i
2
,
j
2
)
,
⋯
,
(
i
n
,
j
n
)
}
,
{\displaystyle \alpha =\{(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\cdots ,(i_{n},j_{n})\},}
де
i
k
<
j
k
{\displaystyle i_{k}<j_{k}}
i
1
<
i
2
<
⋯
<
i
n
{\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}}
π
=
[
1
2
3
4
⋯
2
n
i
1
j
1
i
2
j
2
⋯
j
n
]
{\displaystyle \pi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n\\i_{1}&j_{1}&i_{2}&j_{2}&\cdots &j_{n}\end{bmatrix}}}
позначає відповідну перестановку , а
sgn
(
α
)
{\displaystyle {\mbox{sgn}}(\alpha )}
знак перестановки
π
{\displaystyle \pi }
Для розбиття
α
{\displaystyle \alpha }
A
α
=
sgn
(
α
)
a
i
1
,
j
1
a
i
2
,
j
2
⋯
a
i
n
,
j
n
.
{\displaystyle A_{\alpha }=\operatorname {sgn} (\alpha )a_{i_{1},j_{1}}a_{i_{2},j_{2}}\cdots a_{i_{n},j_{n}}.}
Пфаффіан матриці A є рівним:
Pf
(
A
)
=
∑
α
∈
Π
A
α
.
{\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=\sum _{\alpha \in \Pi }A_{\alpha }.}
Пфаффіан кососиметричної матриці розміру
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
n за означенням дорівнює нулю.
Рекурсивне означення
ред.
Пфаффіан матриці розміру
0
×
0
{\displaystyle 0\times 0}
A розміру
2
n
×
2
n
{\displaystyle 2n\times 2n}
n
>
0
{\displaystyle n>0}
Pf
(
A
)
=
∑
j
=
1
j
≠
i
2
n
(
−
1
)
i
+
j
+
1
+
θ
(
i
−
j
)
a
i
j
Pf
(
A
ı
^
ȷ
^
)
,
{\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=\sum _{{j=1} \atop {j\neq i}}^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta (i-j)}a_{ij}\operatorname {Pf} (A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}),}
де індекс
i
{\displaystyle i}
θ
(
i
j
)
{\displaystyle \theta (ij)}
функція Гевісайда , а
A
ı
^
ȷ
^
{\displaystyle A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}}
A без i -тих і j -тих рядків і стовпців.
Альтернативне означення
ред.
Для
2
n
×
2
n
{\displaystyle 2n\times 2n}
A
=
{
a
i
j
}
{\displaystyle A=\{a_{ij}\}}
бівектор :
ω
=
∑
i
<
j
a
i
j
e
i
∧
e
j
.
{\displaystyle \omega =\sum _{i<j}a_{ij}\;e_{i}\wedge e_{j}.}
де
{
e
1
,
e
2
,
…
,
e
2
n
}
{\displaystyle \{e_{1},e_{2},\dots ,e_{2n}\}}
R
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
1
n
!
ω
∧
n
=
Pf
(
A
)
e
1
∧
e
2
∧
⋯
∧
e
2
n
,
{\displaystyle {\frac {1}{n!}}\omega ^{\wedge n}={\mbox{Pf}}(A)\;e_{1}\wedge e_{2}\wedge \dots \wedge e_{2n},}
де
ω
∧
n
{\displaystyle \omega ^{\wedge n}}
зовнішній добуток n копій
ω
{\displaystyle \omega }
Властивості
ред.
Для
2
n
×
2
n
{\displaystyle 2n\times 2n}
A
{\displaystyle A}
2
n
×
2
n
{\displaystyle 2n\times 2n}
B
{\displaystyle B}
Pf
(
A
)
2
=
det
(
A
)
{\displaystyle {\mbox{Pf}}(A)^{2}=\det(A)}
Pf
(
B
A
B
T
)
=
det
(
B
)
Pf
(
A
)
{\displaystyle {\mbox{Pf}}(BAB^{T})=\det(B){\mbox{Pf}}(A)}
Позначимо
A
¯
=
B
A
B
T
.
{\displaystyle {\bar {A}}=BAB^{T}.}
a
¯
i
j
=
(
B
A
B
T
)
i
j
=
∑
k
,
l
=
1
2
n
b
i
k
b
j
l
a
k
l
.
{\displaystyle {\bar {a}}_{ij}=(BAB^{T})_{ij}=\sum _{k,l=1}^{2n}b_{ik}b_{jl}a_{kl}.}
pf
(
B
A
B
T
)
=
1
2
n
n
!
∑
σ
∈
S
2
n
sgn
(
σ
)
∏
i
=
1
n
a
¯
σ
(
2
i
−
1
)
,
σ
(
2
i
)
=
1
2
n
n
!
∑
σ
∈
S
2
n
sgn
(
σ
)
∏
i
=
1
n
(
∑
k
,
l
=
1
2
n
b
σ
(
2
i
−
1
)
,
k
b
σ
(
2
i
)
,
l
a
k
l
)
{\displaystyle \operatorname {pf} (BAB^{T})={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}{\bar {a}}_{\sigma (2i-1),\sigma (2i)}={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}\left(\sum _{k,l=1}^{2n}b_{\sigma (2i-1),k}b_{\sigma (2i),l}a_{kl}\right)}
Нехай тепер
φ
{\displaystyle \varphi }
{
1
,
2
,
…
,
2
n
}
{\displaystyle \{1,2,\ldots ,2n\}}
1
2
n
n
!
∑
σ
∈
S
2
n
sgn
(
σ
)
∏
i
=
1
n
(
∑
k
,
l
=
1
2
n
b
σ
(
2
i
−
1
)
,
k
b
σ
(
2
i
)
,
l
a
k
l
)
=
1
2
n
n
!
∑
φ
∑
σ
∈
S
2
n
sgn
(
σ
)
∏
i
=
1
n
b
σ
(
2
i
−
1
)
,
φ
(
2
i
−
1
)
b
σ
(
2
i
)
,
φ
(
2
i
)
a
φ
(
2
i
−
1
)
,
φ
(
2
i
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}\left(\sum _{k,l=1}^{2n}b_{\sigma (2i-1),k}b_{\sigma (2i),l}a_{kl}\right)={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\varphi }\sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}b_{\sigma (2i-1),\varphi (2i-1)}b_{\sigma (2i),\varphi (2i)}a_{\varphi (2i-1),\varphi (2i)}.}
Але для кожного конкретного відображення
φ
{\displaystyle \varphi }
∑
σ
∈
S
2
n
sgn
(
σ
)
∏
i
=
1
n
b
σ
(
2
i
−
1
)
,
φ
(
2
i
−
1
)
b
σ
(
2
i
)
,
φ
(
2
i
)
{\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}b_{\sigma (2i-1),\varphi (2i-1)}b_{\sigma (2i),\varphi (2i)}}
det
B
φ
,
{\displaystyle \det B_{\varphi },}
B
φ
{\displaystyle B_{\varphi }}
2
n
×
2
n
{\displaystyle 2n\times 2n}
i -ий стовпець є
φ
(
i
)
{\displaystyle \varphi (i)}
B
.
{\displaystyle B.}
φ
{\displaystyle \varphi }
det
B
φ
=
sgn
(
φ
)
det
B
.
{\displaystyle \det B_{\varphi }=\operatorname {sgn}(\varphi )\det B.}
Pf
(
B
A
B
T
)
=
det
(
B
)
⋅
1
2
n
n
!
∑
φ
∈
S
2
n
sgn
(
φ
)
∏
i
=
1
n
a
φ
(
2
i
−
1
)
,
φ
(
2
i
)
=
det
(
B
)
Pf
(
A
)
.
{\displaystyle {\mbox{Pf}}(BAB^{T})=\det(B)\cdot {\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\varphi \in S_{2n}}\operatorname {sgn} (\varphi )\prod _{i=1}^{n}a_{\varphi (2i-1),\varphi (2i)}=\det(B){\mbox{Pf}}(A).}
Pf
(
λ
A
)
=
λ
n
Pf
(
A
)
{\displaystyle {\mbox{Pf}}(\lambda A)=\lambda ^{n}{\mbox{Pf}}(A)}
Pf
(
A
T
)
=
(
−
1
)
n
Pf
(
A
)
{\displaystyle {\mbox{Pf}}(A^{T})=(-1)^{n}{\mbox{Pf}}(A)}
Для блок-діагональної матриці
Pf
[
A
1
0
0
A
2
]
=
Pf
(
A
1
)
Pf
(
A
2
)
.
{\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{bmatrix}}={\mbox{Pf}}(A_{1}){\mbox{Pf}}(A_{2}).}
Для довільної
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
M
{\displaystyle M}
Pf
[
0
M
−
M
T
0
]
=
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
/
2
det
M
.
{\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&M\\-M^{T}&0\end{bmatrix}}=(-1)^{n(n-1)/2}\det M.}
Див. також
ред.
Примітки
ред.
