Вікіпедія

Теорема Больцано — Веєрштрасса: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
[неперевірена версія][перевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
м Рассилон перейменував сторінку з Принцип Больцано - Вейєрштрасса на Принцип Больцано — Вейєрштрасса без створення перенаправлення: неправильне вживання дефісу — потрібно тире; без залишення перенаправлення через відсутність посилань сюди
вікіфікація, шаблон, рекомендації з поліпшення
Мітка: Скасовано
Рядок 1:
{{Проблеми|
{{приєднати до|Теорема Больцано — Вейєрштрасса|дата=листопад 2020}}
|без джерел=листопад 2020
|без інтервікі=листопад 2020
|значимість=листопад 2020<!-- у частині самостійної значимості окремо від [[Теорема Больцано — Вейєрштрасса]] -->
|ОД=листопад 2020
|стиль=листопад 2020
}}
 
== Теорема ==
{{mainдив. також|обмежена послідовність}}
 
'''''Із будь-якої обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.'''''
 
=== Доведення ===
Нехай {<code>x<sub>n</sub></code>} &nbsp;— обмеена послідовність , тобто
 
: <code><math> \bigl(\exists a\in \mathbf{R} \bigr)\bigl(\exists b\in \mathbf{R} \bigr)\bigl(\forall n\in \mathbf{N} \bigr)\{\alpha\leq x_n \leq b\} </math></code>
 
Розділимо відрізок <code><math> [ a ,b ] </math></code> точкою <math> \frac{a+b}{2} </math> навпіл. Тоді хоча б один із відрізків -
 
: <math> \left [ a , \frac{a+b}{2}\right ] </math> чи <math> \left [ \frac{a+b}{2} , b \right] </math> &nbsp;— містить нескінченну кількість членів послідовності <code><math> \{x_n\} </math></code>. Позначимо такий відрізок <code><math> [ a_1 ,b_1 ] </math></code> . Аналогічно утворимо відрізки
: <math> \left [ a_1 , \frac{a_1+b_2}{2}\right ] </math> та <math> \left [ \frac{a_1+ b_1}{2} , b_1 \right] </math>, хоча б один з яких теж містить нескінченну кількість членів послідовності <code><math>\{x_n\}</math></code>.
 
Позначимо його <code><math> [ a_2 ,b_2 ] </math></code> . Продовжуючи описаний процес , отримуємо послідовність вкладених відрізків
 
: <code><math> [ a_1 ,b_1 ]\supset[ a_2 ,b_2 ]\supset[ a_3 ,b_3 ]\supset[ a_4 ,b_4 ]\supset ....[ a_k ,b_k ]\supset ... </math></code> ,
 
довжина яких
 
: <math> d_k\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} b_k - a_k = \frac{b-a}{2^{k}} </math>.
 
Оскільки
 
: <math> \lim_{k \to \infty} d_k = \lim_{k \to \infty} \tfrac{b-a}{2^{k}}=0 </math> ,
 
то, згідно з теоремою про принцип вкладених відрізків
 
: <code><math>\lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty}b_k \overset{\underset{\mathrm{def}}{}} {= } c</math></code>,
 
Виберемо послідовність <code><math>\{x_{n_k}\}</math></code> так. Нехай <code><math> x_{n_1} </math></code> &nbsp;— будь-який із членів послідовності <code><math> \{x_n\} </math></code> , що належить відрізку <math> [ a_1 ,b_1 ] </math>;
 
<code><math> x_{n_2} </math></code> &nbsp;— будь-який із членів послідовності <code><math> \{x_n\} </math></code> , що належить відрізку <code><math> [ a_2 ,b_2 ] </math></code> і такий , що <code><math> n_2>n_1 </math></code> .
 
Такий член завжди існує , оскільки відрізок <code><math> [ a_2 ,b_2 ] </math></code> містить нескінченно багато членів послідовності <code><math> \{x_n\} </math></code>.
 
І взагалі , <code><math> x_{n_k} </math></code> -&nbsp;— будь-який із членів послідовності <math> \{x_n\} </math> , що належить відрізку <code><math> [ a_k ,b_k ] </math></code> і такий , що <code><math> n_k> n_{k-1} </math></code> .
 
Продовжуючи описаний процес , отримуємо послідовність <code><math> \{x_{n_k}\} </math></code> , причому
 
: <code><math> n_1< n_2 < ....<n_k< .... </math></code>
 
і виконують нерівності
 
: <code><math> a_k\leq x_{n_k}\leq b_k </math></code>
 
Враховуючи , згідно з теоремою про три послідовності , маємо
 
: <math> \lim_{k \to \infty} x_{n_k} =c </math>.
 
== Наслідок ==
{{mainдив. також|збіжна послідовність}}
 
'''''З будь-якої послідовності можна виділити збіжну в <math>\mathbf{R}</math> підпослідовність .'''''
 
=== Доведення ===
Нехай <math> \{x_n\} </math> -&nbsp;— довільна послідовність . Якщо <math> \{x_n\} </math> -&nbsp;— обмежена , то за теоремою Больцана -&nbsp;— Вейєрштрасса з неї можна виділити збіжну підпослідовність .
 
Якщо <math> \{x_n\} </math> - необмежена зверху ,▼
 
▲Якщо <math> \{x_n\} </math> -&nbsp;— необмежена зверху, ,то
то
 
: <code><math> \bigl(\forall k\in \mathbf{N} \bigr)\bigl(\exists n_k \in \mathbf{N} \bigr)\{x_{n_k} > k\} </math></code> .
 
Доведемо, що
 
: <math> \lim_{k \to \infty} x_{n_k} = +\infty </math> .
 
Справді , оскільки
 
: <code><math> \bigl(\forall M \in \mathbb{R}\bigr)\bigl(\exists K \in \mathbb{N}\bigr)\{ K>M\} </math></code> ,
Рядок 78 ⟶ 85:
що й означає виконання співвідношення .
 
== ДивитисяДив. також ==
 
* [[Границя]]
* Часткова границя послідовності
* [[Верхня границя|ВерняВерхня границя послідовності]]
* [[Нижня границя|Нижня границя послідовності]]
* [[Послідовність|Числова послідовність]]
Рядок 89 ⟶ 96:
* [[Стискна теорема|Три послідовності]]
* [[Лема про вкладені відрізки|Послідовність вкладених відрізків]]
* [[Збіжна послідовність|Збіжна підпослідовність]]
* [[Обмежена послідовність|Обмежена послідовность]]
*
 
[[Категорія:Математична термінологія]]
[[Категорія:Математичний аналіз]]
[[Категорія:Границі]]
__ІНДЕКС__
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Теорема_Больцано_—_Веєрштрасса