Евклідів простір: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Olvin (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
[[Image:Coord system CA 0.svg|thumb|right|250px|Кожна точка тривимірного Евклідового простору визначається трьома координатами.]]
'''Евклідів простір''' — скінченновимірний дійсний [[векторний простір]] ''E''
<ref name="kostr">{{cite book|автор=А. И. Кострикин, Ю. И. Манин |назва=Линейная алгебра и геометрия}}</ref>.
Названий на честь [[Давньогрецька математика|давньогрецького математика]] [[Евклід|Евкліда із Александрії]].<ref>{{cite book|last=Ball|first=W.W. Rouse|authorlink=W. W. Rouse Ball|title = A Short Account of the History of Mathematics|origyear=1908|url=|edition=4th|year=1960|publisher= Dover Publications
|isbn=0-486-20630-0|pages =50–62}}</ref> Розширює дво-[[Розмірність простору|вимірну]] евклідову [[Площина|площину]] до [[Тривимірний опис об'єкта|тривимірного простору]], і є поняттям [[Евклідова геометрія|Евклідової геометрії]]. Термін "евклідовий" дозволяє відрізняти ці простори від інших типів просторів, що можуть розглядатися в сучасній геометрії. Евклідів простір також узагальнюють і до [[Розмірність простору|більшої кількості вимірів]].
В класичній [[Історія геометрії|давньогрецькій геометрії]] існує визначення евклідової площини і тривимірного евклідового простору, що ґрунтується на певних [[Аксіома|постулатах]], в той час як інші властивості цих просторів виведені як [[Теорема|теореми]]. {{Джерело?|Також використовувалися геометричні побудови для визначення [[Раціональні числа|раціональних чисел]], що є відношеннями {{нп|Співмірні величини|співмірних довжин|en|commensurability (mathematics)}}}}{{сумнівно}}. Коли [[алгебра]] і [[математичний аналіз]] набули достатнього розвиту, цей зв'язок зберігся і тепер більш загальним стало визначення Евклідового простору на основі [[Векторний простір|векторних просторів]], що дозволяють використовувати [[Декартова система координат|декартові координати]] і методи [[алгебра|алгебри]] та [[Диференціальне та інтегральне числення|диференціального та інтегрального числення]]. Це означає, що [[Точка|точки]] визначають за допомогою [[Кортеж (інформатика)|трійок]] [[Дійсне число|дійсних чисел]], які називаються координатними векторами, а [[Геометрична фігура|геометричні фігури]] описують [[Рівняння|рівняннями]] і [[Нерівність|нерівностями]], що визначають співвідношення цих координат. Цей підхід також дозволяє легко узагальнити w. геометрію до евклідових просторів до просторів більшої розмірності.
Евклідів простір визначено за допомогою аксіом, які не вказують як саме мають бути представлені точки цього простору.<ref>{{cite web|last1=Gabi|first1=Aalex|title=What is the difference between Euclidean and Cartesian spaces?|url=https://math.stackexchange.com/q/112076|website=Mathematics Stack Exchange|publisher=Mathematics Stack Exchange}}</ref> Евклідів простір може бути побудований за допомогою декартової системи координат, як один із можливих способів його представлення. В такому випадку, Евклідів простір моделюють застосовуючи дійсний простір координат ({{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}), що має таку ж розмірність. Для одного виміру це була б шкала дійсних чисел; для двох вимірів, він представляється [[Декартова система координат|декартовою системою координат]] на площині; і для більшої кількості вимірів, це є {{нп|координатний простір||en|coordinate space}} із трьома або більше координатами, що представлені дійсними числами. Математики позначають [[Розмірність простору|{{mvar|n}}-вимірний]] Евклідів простір як {{math|'''E'''<sup>''n''</sup>}}, якщо вони хочуть підкреслити його природу та властивості, але також використовують позначення {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, оскільки ці дві [[Математичні структури|структури]] мають подібні властивості і їх як правило не розрізняють. Евклідові простори мають скінченну кількість вимірів.<ref name="mathen">{{cite web|title=Euclidean space.|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Euclidean_space|work=Encyclopedia of Mathematics|publisher=Springer|accessdate=1 May 2014|author=E.D. Solomentsev|date=7 February 2011}}</ref>
Рядок 15:
Узагальнюючи на випадок n вимірів, отримаємо <math>l^2=(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\dots (x_n-y_n)^2 = \sum_{k=1}^n (x_k-y_k)^2</math>.
Функція відстані між двома точками має назву [[
== Вектори в евклідовому просторі ==
| |||