Алгебричне рівняння: відмінності між версіями

Деякі геометричні задачі: подвоєння [[куб]]а, трисекція [[кут]]а, побудова [[правильний семикутник|правильного семикутника]] (див. [[Класичні задачі давнини]]) — зводяться до розв'язання кубічних рівнянь. Для їх розв'язку необхідно було відшукати точки перетину конічних перетинів ([[еліпс]]ів, парабол і гіпербол). Користуючись геометричними методами, математики середньовічного Сходу досліджували розв'язки кубічних рівнянь. Проте їм не вдалося вивести загальну формулу для їх розв'язку. Першим великим відкриттям західноєвропейської математики стала отримана в XVI ст. формула для розв'язку [[кубічне рівняння|кубічного рівняння]]. Оскільки в той час від'ємні числа ще не отримали поширення, довелося окремо розбирати такі типи рівнянь: <math>x^3+px=q,</math> <math>x^3+q=px</math> і т. д. Італійський математик [[Сципіон дель Ферро|С. дель-Феро]] (1465—1526) розв'язав рівняння <math>x^3+px=q</math> і повідомив розв'язок своєму зятю і учневі А.-М. Фіоре, який викликав на математичний турнір чудового математика-самоучку [[Нікколо Тарталья|Н. Тарталью]] (1499−1557). За кілька днів до турніру Тарталья знайшов загальний метод розв'язку кубічних рівнянь і переміг, швидко розв'язавши всі запропоновані йому 30 завдань. Проте знайдена Тартальєю [[формула]] для розв'язання [[однорідне рівняння|однорідного рівняння]] <math>x^3+px+q=0</math>

Одною з найважливіших задач [[теорія|теорії]] алгебричних рівнянь в XVII—XVIII ст. було відшукання формули для розв'язку рівняння 5-го степеня. Після безплідних пошуків багатьох поколінь алгебристів зусиллями французького вченого XVIII ст. [[Лагранж Жозеф-Луї|Ж. Лагранжа]] (1736—1813), італійського вченого [[Паоло Руффіні|П. Руффіні]] (1765—1822) і норвезького математика [[Нільс Генріх Абель|Н. Абеля]] наприкінці XVIII — на початку XIX ст. було доведено, що не існує формули, за допомогою якої можна виразити корені будь-якого рівняння 5-го степеня через його коефіцієнти, використовуючи лише арифметичні операції й операцію кореня. Ці дослідження були завершено роботами [[Еварист Галуа|Е. Галуа]], теорія якого дозволяє для будь-якого рівняння визначити, виражаються його корені в радикалах (див. [[Теорія Галуа]]). Ще до цього [[Карл Фрідріх Гаус|К. Ф. Гаус]] розв'язав проблему знаходження в квадратних радикалах коренів [[однорідне рівняння|однорідного рівняння]] <math>x^n-1=0</math>, до якого зводиться задача про побудові за допомогою циркуля і лінійки правильного <math>n</math>-кутника. Зокрема, неможливо за допомогою цих інструментів побудувати правильний семикутник, дев'ятикутник і т. д. — така побудова можлива тоді, коли <math>n</math> — просте число виду <math>2^{2^k} + 1</math> чи добуток різних простих чисел такого виду.