Метод Адамса: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Ickis (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
NickK (обговорення | внесок) нормальні формули, категоризація, інтервікі |
||
Рядок 1:
'''Метод Адамса''' — різницевий метод чисельного інтегрування звичайних [[Диференційні рівняння|диференійних рівнянь]], який дозволяє обчислювати таблицю наближених значень розв'язку в початкових точках.
== Метод Адамса ==▼
В однокрокових методах для обчислення значения у<sub>п+1</sub> використовується значения тільки у<sub>n</sub> і для підвищення точності при фіксованому кроці необхідно проводити обчислення все більшої кількості допоміжних величин. Це є причиною того, що для багатьох задач застосування [[формули Рунге-Кутта|формул Рунге-Кутта]] є неможливим внаслідок великих втрат комп'ютерного часу. Тому частіше більш раціонально переходити до багатокрокових методів, які дають можливість, використовуючи значения f(x<sub>i</sub>,y<sub>i</sub>), що обчислені на попередніх кроках, отримати прийнятну точність.▼
Серед k-крокових методів найбільш часто використовуються методи інтегрування на сітці з постійним кроком, які називаються кінцево-різницевими схемами. Розглянемо ЗДР '''(1)'''
▲В однокрокових методах для обчислення значения у<sub>п+1</sub> використовується значения тільки у<sub>n</sub> і для підвищення точності при фіксованому кроці необхідно проводити обчислення все більшої кількості допоміжних величин. Це є причиною того, що для багатьох задач застосування формул Рунге-Кутта є неможливим внаслідок великих втрат комп'ютерного часу. Тому частіше більш раціонально переходити до багатокрокових методів, які дають можливість, використовуючи значения f(x<sub>i</sub>,y<sub>i</sub>), що обчислені на попередніх кроках, отримати прийнятну точність.
▲Серед k-крокових методів найбільш часто використовуються методи інтегрування на сітці з постійним кроком, які називаються кінцево-різницевими схемами. Розглянемо ЗДР '''(1)''' [[Файл:Metod_adamsa_1.jpg]]
Припустимо, що вже відомі розв'язки на множині значень Х<sub>i</sub> (і=0,1,. . .,п). Тобто можна записати рівняння '''(2)''':
:<math> y (x_{n+1}) = y_n + \int_{x_n}^{x_{n+1}} f(t, y(t)) dt</math>
При обчисленні інтеграла в правій частині цього виразу підінтегральну функцію замінимо на інтерполяційний поліном Ньютона для інтерполяції назад
При цьому
отриманих нижче формул. Нагадаємо, що
:<math>\int_{x_n}^{x_{n+1}} f(t, y(t)) dt \approx \sum_{k=0}^m \frac{\nabla^k f_n}{k! h^k} \int_{x_n}^{x_{n+1}} (t-x_n)...(t-x_{n-k+1}) dt</math>
Обрахуємо декілька перших інтегралів:
:<math>k=0, \int_{x_n}^{x_{n+1}} dt = h</math>
:<math>k=1, \int_{x_n}^{x_{n+1}}(t-x_n) dt = \frac{h^2}{2}</math>
:<math>k=2, \int_{x_n}^{x_{n+1}}(t-x_n)(t-x_{n-1}) dt = \frac{5}{6}h^3</math>
У результаті отримаємо '''формулу Адамса'''
:<math>y_{n+1}=y_n+h[f_n+\frac{1}{2} \nabla f_n+\frac{5}{12} \nabla^2 f_n+\frac{3}{8} \nabla^3 f_n+\frac{251}{720} \nabla^4 f_n+...]</math>
де порядок точності методу збігається з кількістю доданків у квадратних дужках.
На практиці, для користування цією формулою залежно від порядку точності, необхідно знати певну кількість значень f<sub>i</sub> (а значить і y<sub>i</sub>) у вузлах Х<sub>i</sub>. Тому для "розгону" звичайно використовують однокроковий метод (наприклад Рунге-Кутта) для знаходження у<sub>і</sub> в декількох початкових точках поблизу x<sub>0</sub>, а потім переходять до формули Адамса.
▲===Джерела===
* [http://www.phys.univ.kiev.ua/theory/pdf/rparmain.pdf Єжов С.М. Методи обчислень]
[[Категорія:Чисельні методи]]
[[de:Mehrschrittverfahren]]
[[en:Linear multistep method]]
| |||