Касп (математика): відмінності між версіями

[[Файл:cusp.svg|thumb|right|200px|Звичайний касп на кривій ''x''³-''y''²=0]]

над алгебрично замкненим полем <math>k</math> називається каспом, якщо

[[Поповнення (комутативна алгебра)|поповнення]] її [[Локальне кільце|локального кільця]] ізоморфно поповненню локального кільця плоскої алгебричної кривої <math>y^2+x^3 = 0</math> на початку координат.

Всі каспи [[плоска крива|плоских кривих]] [[дифеоморфізм|дифеоморфні]] одній з наступних форм&nbsp;— ''x''²&nbsp;−&nbsp;''y''^2''k''+1 =&nbsp;0, де ''k'' ≥&nbsp;1&nbsp;— [[ціле число]].

 

Розглянемо [[гладка функція|гладку]] дійсно-значну функцію двох змінних ''f''(''x'',&nbsp;''y''), де ''x'' і ''y''&nbsp;— [[дійсне число|дійсні]] числа. Отже ''f'' діє з площини на пряму. На простір усіх таких гладких функцій поширюється групова дія дифеоморфізмів і перетворень площини і перетворень прямої. Тобто можлива дифеоморфні перетворення як в області визначення так і в області значень функції. Така дія розбиває простір функції на [[клас еквівалентності|класи еквівалентності]]&nbsp;— тобто орбіти групової дії. Одна така сім'я класів еквівалентності позначається ''A_k''^± де ''k'' невід'ємне ціле. Функція f належить до типу ''A_k''^± де ''k'' якщо вона лежить в орбіті ''x''²&nbsp;±&nbsp;''y''^''k''+1, тобто існує дифеоморфне перетворення координат в базовому і дотичному просторах яке перетворює f в одну з таких форм.

== Див. також ==