|
Для незліченних множин, їхня потужність <math>\ge \aleph_0</math>. Тобто, зліченна множина в певному розумінні є «найменшою» з нескінченних множин. Незліченними є множини [[дійсні числа|дійсних]] '''R''' та [[комплексні числа|комплексних]] '''C''' чисел.
Властивості зчисленних множин.
1) Т.1: з усякої нескінченної множини можна виділити зчисленну підмнож.
Дов. нехай А – нескінч множина. Візьмемо дов. елем з цієї множини а1, з множ., яка залишилась візьмемо елем. І позначимо його а2, і т.д. В результаті з множини А ми виділили підмнож. В, яка скл. з елем. а1, а2,...,аn... , причому всі елементи різні. Підмнож. В утворює зчисл. підмножину.
2)Т.2: Всяка неск. підмнож. Зчисленної множини теж зчисленна.
3) Т3: Сума скінченного числа зчисленних множин є зчисленною множиною
4)Т4: Сума зчисленної множини скінченних множин не більш, ніж зчисленна.
5) Т5: Сума зчисленної множини зчисленних множин є множина зчисленна.
6) Т6: Множина всіх раціональних чисел зчисленна. (н1: множина всіх цілих чиел зчисленна. )
7) Т7: Множина всіх алгебраїчних чисел зчисленна (комплексне число наз. алгебр., якщо воно є коренем алгебр. Рівняння з цілими коефіцієнтами)(н2: множина всіх дійсних алгебр. чисел зчисленна)
=== Потужність континууму ===
Про множини, рівнопотужні множині дійсних чисел [або дійсних чисел з інтервалу (0, 1)] кажуть, що вони мають потужність [[континуум|континуума]], і потужність таких множин позначається символом ''c''. [[Континуум-гіпотеза]] стверджує, що с=<math>\aleph_1</math>.
Т.1: множина всіх дійсних чисел, що містяться у відрізку [0,1], незчисленна (незчисленними будемо наз. незчисленні нескінченні множини). Т.2: Якщо А – незчисленна множина, а В – її скінченна або зчисленна пдмножина, то А\В~А. Т.3: Множина всіх дійсних чисел, що містяться в дов. проміжку <а,в>, має потужність континуму. Т.4: Сума скінченного числа множин потужності континуму попарно без спільних елементів є множина потужності континуму. Т.5: Сума зчисленної множини множин потужності континуму попарно без спільних елементів є множина потужності континуму. (Н1: Множина всіх дійсних чисел має потужність континуму. Н2: Множина всіх ірраціональних чисел має потужність континуму. Н3: Існують трансцендентні числа. Множина всіх трансцендентних чисел має потужність континуму)
== Порівняння потужностей ==
| 