Розподіл Гауса на локально компактній абелевій групі

Розподіл Гауса на локально компактній абелевій групі - розподіл γ на групі $G$, який задовольняє наступним умовам:

1) $\gamma$ - безмежно подільний розподіл;

2) якщо $\gamma =e(F)*\nu$, де $e(F)$ - узагальнений розподіл Пуассона, асоційований з мірою $F$, а $\nu$- безмежно подільний розподіл, то міра $F$ вироджена в нулі.

Для групи $G=\mathbb {R} ^{n}$ це визначення співпадає з класичним. Носій розподілу Гауса $\gamma$- клас суміжності деякої зв'язної підгрупи групи $G$.

Розподіл γ на групі $G$ є розподілом Гауса тоді і лише тоді, коли його характеристична функція може бути представлена у вигляді

(*) ${\hat {\gamma }}({\bar {g}})=(g,{\bar {g}})\exp {-\varphi ({\bar {g}})}$,

де $(g,{\bar {g}})$- значення характеру ${\bar {g}}$ на елементі $g$, $\varphi ({\bar {g}})$- неперервна невід'ємна функція на ${\bar {G}}$ (${\bar {G}}$ - група характерів групи $G$), яка задовольняє рівнянню

$\varphi ({\bar {g_{1}}}+{\bar {g_{2}}})+\varphi ({\bar {g_{1}}}-{\bar {g_{2}}})=2[\varphi ({\bar {g_{1}}})+\varphi ({\bar {g_{2}}})]$ .

Розподіл Гауса називається симетричним розподілом Гауса, якщо в (*) $g=0$. Нехай $\Gamma (G)$ - множина розподілів Гауса на групі $G$, $\Gamma ^{s}(G)$ - множина симетричних розподілів Гауса на групі $G$. Розподіл $\gamma \in \Gamma ^{s}(G)$є неперервним гомоморфним образом розподілу Гауса у векторному просторі (скінченновимірному $\mathbb {R} ^{n}$ або нескінченновимірному $\mathbb {R} ^{\infty }$- просторі всих послідовностей з топологією покоординатної збіжності).

Якщо розподіл $\gamma$ можна вкласти в неперервну однопараметричну півгрупу $\gamma _{t},t>0$, розподілів на $G$, то $\gamma \in \Gamma (G)$ тоді і лише тоді, коли

$\lim _{t\rightarrow 0}{\gamma _{t}(G\backslash U) \over t}=0$

для будь-якого околу нуля $U$ групи $G$.

Нехай $G$- зв'язна група, $\gamma \in \Gamma (G)$. Якщо група $G$ не локально зв'язна, то $\gamma$ сингулярний (відносно міри Хаара $m_{G}$). Якщо $G$ локально зв'язна і має скінчену розмірність, то $\gamma$ або абсолютно неперервний, або сингулярний. Питання про справедливість аналогічного твердження на локально зв'язних групах нескінченої розмірності відкритий, хоча на таких групах можна побудувати як абсолютно неперервні, так і сингулярні розподіли Гауса.

На зв'язних групах скінченої розмірності справедлива альтернатива, яка має місце для розподілів Гауса у векторному просторі - будь-які два розподіли Гауса або взаємно абсолютно неперервні, або взаємно сингулярні.