Група (математика): відмінності між версіями

'''Гру́па'''&nbsp;— одне ізз найважливіших понять сучасної [[абстрактна алгебра|алгебри]], яке має численні застосування у більшостібагатьох суміжних дисциплінах. Здебільшого група виникає як множина всіх перетворень (симетрій) деякої структури. Результатом послідовного застосування двох перетворень буде знову деяке перетворення. Поняття абстрактної групи є узагальненням груп симетрій і визначається як множина із [[бінарна операція|операцією]] множення (композиції), що задовольняє певним аксіомам ([[асоціативність|асоціативності]], існування [[нейтральний елемент|нейтрального]] та [[обернений елемент|оберненого]] елемента)<ref name="korn">{{cite book|

4) для будь-якого елемента  <math>a \in G</math> існує симетричний до нього елемент <math>a' \in G</math>, тобто такий, що <math>a*a'=a'*a=e</math>.

== Групи ізз додатковою структурою ==

Якщо ''G'' має структуру [[многовид]]у ій групові операції сумісні з цією структурою (є гладкими), тоді ''G'' називають [[Група Лі|групою Лі]] (раніше&nbsp;— ''неперервною групою''), на честь норвезького математика [[Софус Лі|Софуса Лі]], який розпочав їх дослідження.

Поняття групи є одним з основних понятьу сучасноїсучасній математикиматематиці. Воно формувалася поступово з таких галузей математики як геометрія, теорія чисел та теорія рівнянь, тому можна вважати, що абстрактна теорія груп історично має три коренякорені виникнення{{джерело}}.

В кінціНаприкінці XVIII століття геометрія почала швидко розвиватися, античні погляди на геометрію змінились докорінно. Було визначено цілий ряд нових геометрій &nbsp;і геометричних рядів. Розвиток гіперболічної геометрії (Ламберт, [[Карл Фрідріх Гаусс|Гаус]], [[Лобачевський Микола Іванович|Лобачевський]] та Бойян) на початку століття&nbsp; та еліптичної (Ріман) спричинив складні проблеми в тодішній геометрії. Дослідження Монжа і Попселя призвели до відкриття проективної геометрії{{джерело}}.

У дослідженнядослідженнях теорії інваріантів [[Артур Келі|Келі]]  інтуїтивно розглядаєрозглядав поняття групи. В 1854 роціроку він використовуючизастосував поняття групи за [[Еварист Галуа|Галуа]], й дав означення скінченної групи. Побудова скінченної фундаментальної системи інваріантів стала поштовхом для встановлення в 80-ті роки основної теореми скінченних абелевих груп. Отже, абстрактна теорія інваріантів є перехідною до абстрактної теорії груп.

Теорія чисел відіграє велику роль ву доведенні існування теоретико-групової теорії. Основні результати було отримано Ейлером та Гаусом. Ейлер вказав приклад розкладу абелевої групи на суміжні класи ій довів теорему Лагранжа для частинного випадку циклічної групи. ПриУ даномуцьому доведенні Ейлер використовувавзастосував міркування, що здійснюються зараз при розкладі групи на суміжні класи. 

[[Карл Фрідріх Гаусс|Гаус]]  продовжив дослідження [[Леонард Ейлер|Ейлера]] і зробив великий внесок ву теорію абелевих груп. Він розглядав 4 види груп: адитивну групу <math>m\Z</math> цілих чисел за модулем <math>m</math> , мультиплікативну групу чисел, взаємно простих із <math>m</math>, групу класів ву бінарних[[Квадратична форма|квадратичних формах]] двох змінних <math>ax^2+bxy+cy^2</math>, де <math>a, b, c \in \Z</math>, мультиплікативну групу [[Корінь з одиниці|коренів <math>n</math>''-''го степеня з одиниці]]; вивчав їх структуру ій відношення ізоморфізму.        

[[Леопольд Кронекер|Кронекер]] був ознайомленийзнайомий з роботами Гауса та вважав, що формалізація та аксіоматизація є вигідною{{Джерело?}}. Він вказав закони абстрактної композиції елементів, які еквівалентні повній системі аксіом скінченної абелевої групи. ЗІз цієї системи аксіом Кронекер вивів такі наслідки як існування одиничного елемента. Але Кронекер не застосував потрібним чином вказані закони до теорії груп, хоча й був ознайомленийзнайомий зіз теорією груп Галуа.

Теорія алгебраїчних рівнянь не призвела  до аксіоматизації, але саме в ній розглядалися нові на той час групи підстановок. Вже в 60-ті роки зародилась ''теорія груп'', яка була відокремлена від теорії алгебраїчних рівнянь.

ВУ XVI столітті було знайдено знайдено загальні розв'язки кубічного рівняньрівняння ([[Джироламо Кардано|Кардано]]) і рівняння 4-го степеня ([[Лодовіко Феррарі|Феррарі]]). Ейлер знайшов інший метод розв'язування рівняння 4-го степеня і намагався узагальнити його для будь-якого алгебраїчного рівняння.

Лагранж першим зробив висновок, що загальний розв′язокрозв'язок рівняння степеня <math>n \geqslant 5</math> не може бути знайдений за допомогою вже відомих методів. ПершеЦе коректнетвердження доведенняпершим цьогокоректно факту зробивдовів Абель в: 1824 роціроку — для рівнянь 5-го степеня, ва 1826 роціроку&nbsp;— для всіх степенів <math>n > 4</math>. Роботи Лагранжа мали велике значення для теорії груп, оскільки Лагранж вперше встановив зв'язок між розв'язками алгебраїчних рівнянь і підстановками.  Симетричні групи підстановок були відкриті завдяки Лагранжу.  Розглядаючи симетричні функції, він довів важливу теорему, яка в сучасній теорії груп називається [[Теорема Лагранжа (теорія груп)|теоремою Лагранжа]].

Руффіні навів декілька доведень нерозв'язності рівнянь 5-го степеня в радикалах, тимі самимтаким чином визначив всіусі підгрупи симетричної групи <math>S_{5}</math>.  Групу підстановок Руффіні називаєназивав «permutazione». Руффіні також розглядав теорему Лагранжа і висловив гіпотезу, що для кожного <math>k</math>, що ділить <math>|S_n|</math>, існує підгрупа порядку <math>k</math>.

Термін «група» вперше використав Галуа в 1829 роціроку.  Він використовуваввживав слова французьке слово ''le groupe''  взяте з французького словникового запасу, щояке в перекладі означає «множини», «комплекси». Галуа не дав означення групи. Під групою він розумієрозумів множину підстановок, замкнених відносно операції множення. Однак сталоїусталену термінологіїтермінологію нимвін не було встановленозапровадив.

Отже, в 60-ті роки теорія рівнянь  виділилась як самостійна галузь дослідження теорії груп підстановок.

На провідну роль поняття групи в математиці звернули увагу [[Софус Лі|С. Лі]] та [[Фелікс Кляйн|Ф. Клейн]]. Лі вводитьзапровадив поняття неперервної групи (групи, елементи якої залежать від систем неперервно змінних параметрів, що задовольняють певніпевним диференціальнідиференціальним умовиумовам) та використовуєвикористав методи теорії груп для класифікації ій спрощення розв'язків певних диференціальних рівнянь. Клейн переглянув різні типи геометрій з групової точки зору. Він вважав, що кожна група перетворень задає певну геометрію.

Для розвитку теорії груп велике значення мали підручники Серре, Сальмана, Вебера та монографія Бернсарда. ВУ них зазвичай розглядались зазвичай скінченні групи. Скінченні групи не змогли задовольнити всі потребивсіх потреб. Через виникнення нескінченних структур, подібних до груп, виникла як самостійна дисципліна абстрактна теорія груп. Основи теорії груп без обмеження їх скінченності було викладено в монографії «Абстрактна теорія груп» студента''-''п'ятикурсника Київського університету імені Т.&nbsp;Г.&nbsp;Шевченка [[Шмідт Отто Юлійович|О.&nbsp;Ю.&nbsp;Шмідта]].

Пізніше розпочався розвиток загальної теорії груп, який був пов'язаний  із перебудовою алгебри в 20-ті роки ХХ століття. Сьогодні теорія груп&nbsp;— це надзвичайно важливий та цікавий розділ математики, що займає провідне місце в сучасній алгебрі.