Нормальні коливання: відмінності між версіями

Необхідні для дослідження вільних рухів в такій системі диференціальні рівняння записуються безпосередньо з використанням [[Закони Ньютона|другого закону Ньютона]] і мають вигляд<ref>''[[Грінченко Віктор Тимофійович| Грінченко В. Т.]], . Вовк І. В., Маципура В. Т.'' [http://hydromech.org.ua/content/pdf/books/Grinchenko_2007.zip Основи акустики: Навчальний посібник].&nbsp;— К.: Наукова думка, 2007.&nbsp;— 640 с.&nbsp;— ISBN 978-966-00-0622-5.</ref>

 

 

Ці рівняння часто представляють у вигляді

 

 

 

Такий запис рівнянь руху має певне фізичне підгрунття. Тут вказано на дві специфічні частотні характеристики <math>\omega_1</math> та <math>\omega_2</math>. Очевидно, що це є власні частоти двох систем з одним ступенем вільності, які можна одержати із системи, що розглядається, позбавляючи можливості рухатися одну із мас в системі. Так утворені системи з меншим числом ступенів вільності називаються парціальними системами, Відповідно, частоти <math>\omega_1</math> та <math>\omega_2</math> називаються парціальними частотами вихідної коливальної системи.

Для пошуку можливих періодичних рухів в коливальній системі представимо зміщення мас в вигляді <math>x_1(t)=Acos(\omega t),x_2(t)=Bcos(\omega t)</math>. Після підстановки таких пробних виразів в диференціальні рівняння руху одержуємо систему двох однорідних рівнянь для амплітудних характеристик <math>A</math> та <math>B</math>. Існування відмінних від нуля величин амплітуд коливань можливо лише в тому випадку, коли визначник цієї системи дорівнює нулеві. Саме ця умова дає рівняння для визначення значень частот можливих періодичних рухів в системі.

 

 

 

Аналіз рівняння (1) показує, що воно завжди має два корені відносно величини <math>\omega^2</math>. Якщо, для визначеності, прийняти, що <math>\omega_1<\omega_2</math> то одна із частот нормальних коливань буде завжди меншою ніж <math>\omega_1</math>, а друга завжди більшою ніж <math>\omega_2</math>. Це загальне правило відносно співвідношення величин частот парціальних систем і частот нормальних коливань. Тому часто частоти нормальних коливань системи з двома ступенями вільності позначають, як <math>\omega_-</math> та <math>\omega_+</math>.Для відомих частот нормальних коливань з рівнянь руху випливають наступні співвідношення між амплітудними коефіцієнтами в виразах для <math>x_1(t)</math> та <math>x_2(t)</math>

 

B_-=\frac{m_2}{k_2}A_-(\omega_1^2-\omega_-^2).</math>

 

Таким чином в дослідженій системі можуть реалізуватися два нормальні коливання

 

(2)

 

 

 

 

є загальним розв'язком рівнянь руху. Вибором значень довільних сталих в ньому можна задовольнити довільним початковим умовам в випадку вільних коливань системи з двома ступенями вільності. Більш детально з конкретними прикладами механічних та електричних систем з двома степенями вільності та властивостями їх коливань можна познайомитися в підручнику<ref>''Анісімов І. О.''Коливання та хвилі. Навчальний посібник.—К: Академпрес,2003.—280 с.ISBN 966-7541-25-8.</ref> При аналізі вільних коливань величини <math>A_+,A_-</math> залишаються не визначеними. Однак, властивості нормальних частот дозволяють зробити загальний висновок відносно характеру руху мас в кожному нормальному коливанні. Оскільки завжди <math>\omega_-<\omega_1</math>, то з першого виразу в (2) випливає, що зміщення мас від положення рівноваги в цьому нормальному коливанні (з меншою власною частотою) завжди мають однакові знаки, т.б. маємо синфазний рух мас. Із другого виразу в (2), оскільки завжди <math>\omega_+>\omega_2</math>, випливає, що зміщення мас в другому нормальному коливанні завжди мають протилежні знаки. Коливання відбуваються в протифазі.