Алгебра над полем: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Олюсь (обговорення | внесок) м Перенаправлено на Алгебра над кільцем#Алгебра над полем |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
'''Алгебра над полем''' — [[векторний простір]], на якому введено [[білінійне відображення|білінійний]] добуток узгоджений з структурою векторного простору. Це означає, що алгебра над [[поле (алгебра)|полем]] є одночасно векторним простором і [[кільце (математика)|кільцем]], і ці структури узгоджені. Узагальненням цього поняття є [[алгебра над кільцем]], яка, взагалі кажучи, є не векторним простором, а [[модуль над кільцем|модулем]] над деяким кільцем. Приклади алгебр виникають у багатьох розділах математики і інших дисциплін.
#Redirect [[Алгебра над кільцем#Алгебра над полем]]▼
== Визначення ==
Нехай ''A'' — векторний простір над полем '' K '', на якому визначена операція <math> A \times A \to A </math>, що називається ''множенням''. Тоді ''A'' є '''алгеброю''' над ''K'', якщо для будь-яких <math>x, y, z \in A, \; a, b \in K</math> виконуються рівності:
* <math>(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z</math>
* <math>x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z</math>
* <math>(ax) \cdot (by) = (ab) (x \cdot y)</math>.
Ці три властивості означають, що операція множення є [[Білінійне відображення|білінійною]]. У випадку алгебр з одиницею можна дати еквівалентне визначення:
: Алгебра з одиницею над полем ''K'' — кільце з одиницею ''A'', разом з [[гомоморфізм|гомоморфізмом кілець з одиницею]] <math> f: K \to A </math>, таким, що <math>f(K)</math> належить центру кільця ''A'' (тобто множини елементів, що комутують по множенню з усіма іншими елементами). Після цього можна вважати, що ''A'' є векторним простором над '' K '' з наступною операцією множення на скаляр <math> \alpha \in K </math>: <math> \alpha x = f (\alpha ) \cdot x. </math>
Алгебра називається ''асоціативною'', якщо операція множення в ній [[Асоціативність|асоціативна]], ''алгеброю з одиницею'' — алгебра, в якій є нейтральний щодо множення елемент, комутативною — якщо операція множення в ній є комутативною.
Часто у визначенні алгебра явно вимагається асоціативність множення, тобто мається на увазі «асоціативна алгебра», проте є багато важливих прикладів неасоціативних алгебр.
=== Пов'язані визначення ===
* '''Гомоморфізм''' ''K''-алгебр відображення <math>f:A\rightarrow B</math>, для якого виконуються рівності:
: <math>f(\lambda x) = \lambda f(x)</math> для всіх <math>\lambda \in K, x\in A</math>
: <math>f(x+y) = f(x)+f(y)</math> для всіх <math>x, y \in A</math>
: <math>f(x\cdot y) = f(x)\cdot f(y)</math> для всіх <math>x, y \in A.</math>
* '''Підалгебра''' алгебри над полем '' K '' — [[лінійний підпростір]], для якого добуток будь-яких двох елементів з цього підпростору знову йому належить.
* '''Лівий ідеал''' ''K''—алгебри — лінійний підпростір, замкнутий щодо множення зліва на довільний елемент алгебри. Відповідно, правий ідеал замкнутий щодо правого множення; двосторонній ідеал — ідеал, який є одночасно лівим і правим ідеалом. Єдина відмінність цього визначення від визначення [[ідеал (математика)|ідеалу кільця]], це вимога замкнутості щодо множення на елементи поля. У випадку алгебр з одиницею ця вимога виконується автоматично.
* '''Алгебра з діленням''' — алгебра над полем, така що для будь-яких її елементів <math> a \neq 0 </math> і <math> b </math> рівняння <math> ax = b </math> і <math> ya = b </math> має розв'язок. Зокрема, асоціативна алгебра з діленням, що має одиницю, є [[тіло (алгебра)|тілом]].
* '''Центр алгебри''' ''А'' — множина елементів <math>a \in A</math>, таких що <math>xa = ax</math> для будь-якого елемента <math> x \in A </math>.
== Приклади ==
=== Асоціативні алгебри ===
* [[Комплексне число|Комплексні числа]] є двовимірною комутативною алгеброю над полем [[дійсне число|дійсних чисел]].
* [[Кватерніони]] є чотиривимірною комутативною алгеброю над полем дійсних чисел.
* Попередні два приклади є [[поле (алгебра)|полем]] і [[тіло (алгебра)|тілом]] відповідно, і це не випадково: будь-яка скінченновимірна алгебра над полем, що не має [[дільник нуля|дільників нуля]], є алгеброю з діленням. Дійсно, множення на ''x'' зліва є [[лінійне перетворення|лінійним перетворенням]] цієї алгебри як векторного простору. у цього перетворення [[ядро (алгебра)|ядро]] рівне нулю (так як ''x'' не є дільником нуля), отже, воно сюр'ективним; зокрема, існує прообраз довільного елемента ''b'', тобто такий елемент ''y'', що ''xy'' = ''b''. Друга умова доводиться аналогічно.
* Нульова алгебра в якій добуток двох елементів рівний нулю є прикладом асоціативної, комутативної алгебри без одиниці.
* Комутативна (і нескінченновимірна) алгебра [[многочлен]]ів ''K''[''x''].
* Алгебри [[функція (математика)|функцій]], такі як алгебра [[дійсне число|дійсних]] [[неперервна функція|неперервних функцій]], визначених на інтервалі (0, 1) або алгебра [[голоморфна функція|голоморфних функцій]], визначених на фіксованій [[відкрита множина|відкритій]] підмножині комплексної площини єприкладами комутативних асоціативних алгебр з одиницею.
* Алгебри квадратних матриць і більш загально [[лінійний оператор|лінійних операторів]] на [[гільбертів простір|гільбертовому просторі]] є прикладами некомутативних асоціативних алгебр з одиницею.
* Групова алгебра <math>K[G]</math> в якій елементи [[Група (математика)|групи]] <math>G</math> є базисом векторного поля <math>K[G]</math>, що є простором скінченних лінійних комбінацій елементів з <math>G</math>. На цьому просторі множення базисних елементів визначається множенням у групі, а на інші елементи вводиться лінійно. Отримана група є асоціативною групою з одиницею, яка є комутативною тоді і тільки тоді коли комутативною є група <math>G</math>.
=== Неасоціативні алгебри ===
* Алгебра [[Октоніони|октоніонів]], або ''чисел Келі''.
* Евклідів простір <math>\R^3</math> з операцією [[векторний добуток|векторного добутку]], <math>(\R^3, +,\cdot, \times)</math>, є неасоціативною, антикомутативною <math>\R^3</math>-алгеброю розмірності 3 без одиниці.
* Загальні [[алгебра Лі|алгебри Лі]]. Зокрема простір квадратних матриць розмірності ''n'' <math>\left(\mathcal M_n(\R), +,\cdot, [,] \right)</math> разом з операцією дужок Лі <math>[M, N]=MN-NM</math> є неасоціативною, некомутативною алгеброю без одиниці.
* [[Алгебра Йордана]].
* [[Алгебра Мальцева]]
* [[Альтернативна алгебра|Альтернативні алгебри]].
== Структурні коефіцієнти ==
Множення в алгебрі над полем однозначно задається добутками базисних векторів. Таким чином, для задання скінченновимірної алгебри над полем ''K'' досить вказати її розмірність <math>n</math>, визначити деякий базис <math>(e_1, e_2, \ldots e_n)</math> і подати «таблицю множення» — квадратну таблицю розмірів <math>n \times n.</math> Також множення в алгебрі однозначно можна задати вказавши <math>n^3</math> ''структурних коефіцієнтів'' <math>c_{i, j}^k</math>, що є елементами поля. Ці коефіцієнти визначаються з рівності:
: <math>e_{i}\cdot e_{j} = \sum_{k = 1}^n c_{i, j}^k e_{k}.</math>
Різні множини структурних коефіцієнтів можуть відповідати ізоморфним алгебрам.
Якщо ''K'' є тільки комутативним кільцем, а не полем, цей опис можливий, тільки коли алгебра ''A'' є [[вільний модуль|вільним модулем]].
=== Приклад ===
Для розглянутої вище трьохвимірної алгебри з векторним добутком позначивши стандартну ортонормовану базу як (<math>\vec{u}</math>, <math>\vec{v}</math>, <math>\vec{w}</math>) відповідна таблиця множення задається як:
{|class="wikitable centre"
|-
! width=50 | ||<math>\vec{u}</math>||<math>\vec{v}</math> ||<math>\vec{w}</math>
|-
!<math>\vec{u}</math>
|<math>\vec{u}\times\vec{u} =\vec{0}</math>
|<math>\vec{u}\times\vec{v} =\vec{w}</math>
|<math>\vec{u}\times\vec{w} =-\vec{v}</math>
|-
!<math>\vec{v}</math>
|<math>\vec{v}\times\vec{u} =-\vec{w}</math>
|<math>\vec{v}\times\vec{v} =\vec{0}</math>
|<math>\vec{v}\times\vec{w} =\vec{u}</math>
|-
!<math>\vec{w}</math>
|<math>\vec{w}\times\vec{u} =\vec{v}</math>
|<math>\vec{w}\times\vec{v} =-\vec{u}</math>
|<math>\vec{w}\times\vec{w} =\vec{0}</math>
|}
Структурні коефіцієнти визначені як: <math>c_{1, 2}^3 = 1, \;c_{1, 3}^2 = -1, \; c_{2, 1}^3 = -1, \;c_{2, 3}^1 = 1, \; c_{3, 1}^2 = 1, \;c_{3, 2}^1 = -1,</math> всі інші коефіцієнти рівні нулю.
== Див. Також ==
*[[Диференціальна алгебра]]
== Джерела ==
* ''Michiel Hazewinkel'', ''Nadiya Gubareni'', ''Nadezhda Mikhailovna Gubareni'', ''Vladimir V. Kirichenko''. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. - ISBN 1-4020-2690-0
[[Категорія: Абстрактна алгебра]]
| |||