Стаціонарне рівняння Шредінгера: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 18:
задачі на розсіяння часток одна на одній. При розгляді таких задач енергія E вважається заданою, а потрібно знайти
таку хвильову функцію, яка відповідала б цій енергії й описувала б зіткнення часток, визначаючи [[ймовірність]] розсіяння.
===Виведення із рівняння Шредінгера===
В рамках аксіоматичного підходу, в якості первинних аксіом можуть виступати не тільки прості поняття (наприклад, фізичні величини: маса, заряд, тощо), проте і ''фізичні закони'', котрі оперуюють простими поняттями (наприклад, ''закони Н'ютона'').
Таким чином, можна припустити, що ''рівняння Шредінгера'' є первинна аксіома, котра не виводиться з інших аксіом, і повинна прийматися на віру, як є. Тоді ввівши нове поняття ''стаціонарності'', ми можемо отримати ''стаціонарне рівняння Шредінгера''. В рамках такого підходу в явному математичному вигляді формулюється поняття ''стаціонарності''.
Дійсно, розглянемо стандартне рівняння Шредінгера з невідомими по замовчуванню ''хвильовими функціями'' (тобто вони не мають ніякого відношення до ''хвиль де Бройля''):
:<math>i\hbar \frac{\partial \Psi (\mathbf{r},t) }{\partial t } = \hat H (\mathbf{r})\Psi (\mathbf{r},t)</math>
Проте і в цьому випадку ми можемо чисто формально з математичної точки зору накласти певні умови на хвильову функцію. Дійсно, припустимо, що хвильова функція рівняння Шредінгера допускає розділення просторових та часових змінних у вигляді:
:<math>\Psi (\mathbf{r},t) = \Psi (\mathbf{r})f(t)</math>
Тоді, підставляючи цю нову функцію в рівняння Шредінгера та позначаючи постійну розділення як <math>W \ </math>, знаходимо:
:<math>i\hbar \frac{\partial f }{\partial t } = Wf</math>
:<math>\hat H (\mathbf{r})\Psi (\mathbf{r}) = W\Psi (\mathbf{r})</math>.
Перше рівняння має тривіальний розв'язок:
:<math>f(t) = C\cdot \exp (-i\frac{Wt}{\hbar})</math>.
Що стосується другого рівняння, то як видно, воно співпадає з рівнянням для ''власних функцій'' оператора Гамільтона <math>\hat H \ </math>.
Якщо позначити ці власні функції через <math>\Psi_n (\mathbf{r})</math>, а власні значення енергії через <math>W_n \ </math> (для визначеності беремо випадок дискретного спектру енергій), то кінцевий розв'язок цього рівнянн буде:
<math>\Psi_n (\mathbf{r},t) = \Psi_n (\mathbf{r})\exp (-i\frac{Wt}{\hbar})</math>.
Звідси випливає, що ''стани з визначеним значенням енергії <math>W_n \ </math> гармонічно зв'язані з частотою, яка рівна'':
:<math>\omega_n = \frac{W_n}{\hbar}</math>.
Цей результат розповсюджує ''співвідношення Планка''
:<math>W = \hbar \omega \ </math>,
яке спершу використовувалося тільки для ''вільного руху'', на любі системи. Стан з визначеним значенням енергії і називають ''стаціонарним'', а рівняння на власні значення оператора Гамільтона називають ''рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів''.
==Див. також==
| |||