Лема про вкладені відрізки: відмінності між версіями

''Лема про вкладені відрізки''

 

Нехай існують монотонно зростаюча варіанта <math>x_n</math> та монотонно спадна варіанта <math>y_n</math>, причому завжди

<center>

Якщо їх різниця <math>y_n - x_n</math> прямує до 0, тоді обидві варіанти мають спільну [[Границя|границю]]: <math>c = \lim x_n = \lim y_n</math>

 

Якщо варіанти <math>x_n</math> та <math>y_n</math> мають кінцеві границі:

<center>

Тут <math>\alpha_n \pm \beta_n</math> є нескінченно мала по лемі 2. Тоді, користуючись визначенням [[Границя|границі]], можна стверджувати, що варіанта <math>x_n \pm y_n</math> має границю, що дорівнює <math>a \pm b</math>, що і потрібно було довести.

 

Дійсно, при всіх значеннях n маємо: <math>y_n \le y_1</math>, а значить, зважаючи на (1), і <math>x_n < y_1 (n = 1, 2, 3, ...)</math>. Зростаюча змінна <math>x_n</math> виявляється обмеженою згори, відповідно, вона має кінцеву границю <math>c = \lim x_n</math>.

 

тобто, за умовами рівна 0, так що <math>c^' = c</math>, що і треба було довести.

 

Доведеному твердженню можна придати іншу форму, в якому воно частіше застосовується.

 

Г.М. Фихтенгольц. КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ТОМ 1. Издание седьмое, стереотипное. Издательство "НАУКА". Москва 1969

 

[[Категорія:Леми]]