Рівень Фермі: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Kukhkat (обговорення | внесок) |
м вікіфікація |
||
Рядок 1:
{{Об'єднати|Енергія Фермі|дата=вересень 2008}}
[[Файл:Рівень Фермі.JPG|thumb|400px|]]
'''Рівень Фермі'''
При нульовій температурі положення рівня Фермі збігається із значенням [[хімічний потенціал|хімічного потенціалу]] системи електронів у [[Тверде тіло|твердому тілі]]. При відмінній від нуля температурі значення хімічного потенціалу відмінне від положення рівня Фермі, але все ж більшість фізиків продовжує називати його (не зовсім строго) рівнем Фермі.
Електрони в твердому тілі є [[ферміон]]ами, тобто такими [[квазічастинка]]ми, що не можуть мати одинакові значення квантових чисел
У [[напівпровідник]]ах і [[діелектрик]]ах рівень Фермі збігається із верхом повністю заповненої [[валентна зона|валентної зони]]. В [[метал]]ах валентна зона заповнюється не повністю, тож рівень Фермі розташовується посередині валентної зони.
Рівень [[хімічний потенціал|хімічного потенціалу]] електронної підсистеми при скінченних температурах в напівпровідниках, як правило, розташовується всередині забороненої зони. Фізики часто не зовсім строго називають цей рівень рівнем Фермі.
== Базові поняття ==
=== Концентрація електронів та дірок в зонах ===
В загальному випадку концентрація електронів в [[зона провідності|зоні провідності]] рівна:
: <math>n = \int_{W_c}^{\infty} N_c(W)f_n(W,T)\, dW</math>,
де функція розподілу Фермі- Дірака для електронів:
: <math>f_n = \exp (\frac{W_{Fn} - W}{kT})</math>.
Цей інтеграл доцільніше представити за допомогою безрозмірних змінних:
: <math>x = \frac{W - W_c}{kT}, (0 \le x < \infty )</math>.
Позначимо також:
: <math>\zeta W_{Fn} - W_c, \zeta^* = \zeta /kT \ </math>.
Величина <math>\zeta </math> має назву [[Хімічний потенціал|хімічного потенціалу для електронів]], а <math>\zeta^* </math>
: <math>N_c = 2(\frac{2\pi m_nkT}{(2\pi \hbar)^2})^{3/2}</math>.
Ця величина отримала назву
: <math>n = N_c\Phi_{1/2}(\zeta^* ), \ </math>
де
: <math>\Phi_{1/2}(\zeta^* ) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty} \frac{x^{1/2}}{1 + \exp (x-\zeta^*)}\, dx</math>
Значення останнього інтегралу залежить від параметра <math>\theta^* </math>, тобто від хімічного потенціалу та температури. Цей інтеграл також отримав назву
Аналогічним чином можна знайти концентрацію дірок у [[валентна зона|валентній зоні]] напівпровідника. Загальний вираз для концентрації дірок має вигляд:
: <math>p = \int_{-\infty}^{W_v} N_v(W)f_p(W,T)\, dW</math>.
Вводячи і тут безрозмірні змінні:
: <math>y = \frac{W_v - W}{kT}, (0 \le y < \infty </math>
: <math>\eta^* = \frac{W_v - W_{Fp}}{kT}</math>
ми приходимо до формули:
: <math>p = N_v\Phi_{1/2}(\eta^* ). \ </math>
Тут ефективна густина станів у валентній зоні буде:
: <math>N_v = 2(\frac{2\pi m_pkT}{(2\pi \hbar)^2})^{3/2}</math>,
а різниця
: <math>\eta = W_v - W_{Fp} = -\zeta - W_g \ </math>
і є [[Хімічний потенціал|хімічний потенціал для дірок]], де <math>W_g -</math> [[ширина забороненої зони]].
Рядок 69 ⟶ 70:
При наявності зовнішнього електричного поля, вирази для концентрацій можна переписати у вигляді:
: <math>n = N_c\Phi_{1/2}(\zeta_0^* + \frac{e\phi}{kT}),</math>
: <math>p = N_v\Phi_{1/2}(\eta_0^* - \frac{e\phi}{kT}),</math>
де <math>\phi </math>- потенціал зовнішнього поля, а <math>\zeta_0^*</math> та <math>\eta_0^*</math>- хімічні потенціали у відсутності поля.
Рядок 80 ⟶ 81:
і тому інтеграл Фермі спрощується:
: <math>\Phi_{1/2}(\zeta^* ) = \exp \zeta^* \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\infty} e^{-x}x^{1/2}\, dx</math>
Інтеграл, що сюди входить, добре відомий:
: <math>\int_{0}^{\infty} e^{-x}x^{1/2}\, dx = 2\int_{0}^{\infty} e^{-z^2}z^2\, dz = 0,5\sqrt{\pi}</math>.
Тому
: <math>\Phi_{1/2}(\zeta^* ) = \exp \zeta^* = \exp \frac{W_F - W_c}{kT}</math>,
а значить і концентрація електронів тут буде:
: <math>n = N_c\exp \frac{W_F - W_c}{kT}</math>.
Аналогічним чином спрощується вираз і для концентрації дірок в невиродженому напівпровіднику. Тут виконується співвідношення:
Рядок 100 ⟶ 101:
і тому ми тут будемо мати концентрацію дірок:
: <math>p = N_v\exp \frac{W_v - W_F}{kT}</math>.
Отримані вирази для концентрацій електронів та дірок дозволяють виявити зміст назв ''ефективна густина станів'' в зонах для величин <math>N_c </math> та <math>N_v </math>.
Рядок 107 ⟶ 108:
Оцінку густини станів можна зробити шляхом покладання ефективної маси електронів <math>m_n </math> значенню маси ізольованого електрона <math>m_0 </math>. Тоді при температурі <math>T = 300</math>K ми отримаємо <math>N_v = 2,510\cdot 10^{19} cm^{-3}</math>. Для іншої температури ми маємо наступну оцінку:
: <math>N_{c(v)} = 2,510\cdot 10^{19}(\frac{m_{n(p)}}{m_0})^{3/2}(\frac{T}{300})^{3/2}</math>
де <math>m_{n(p)} -</math> ефективна маса електронів або дірок, відповідно.
Добуток концентрацій електронів та дірок для невиродженого напівпровідника не залежить від положення рівня Фермі:
: <math>np = n_i^2 = N_cN_v\exp (-\frac{W_g}{kT})</math>
де <math>n_i </math>- концентрація електронів при <math>n = p </math>, тобто у ''власному напівпровіднику''. Це співвідношення використовуєтться для визначення термічної ширини забороненої зони <math>W_g </math> за експериментальними результатами залежності концентрації <math>n_i </math> від температури.
Рядок 119 ⟶ 120:
=== Вироджені напівпровідники ===
Інший крайній випадок
: <math>\exp \frac{W_c - W_F}{kT} \ll 1. </math>
В цьому випадку рівень Фермі лежить в зоні провідності, а концентрація електронів в зоні <math>n \gg N_c .</math> В цьому випадку в інтегралі Фермі маємо <math>\exp (x - \zeta^*) \ll 1.</math>
В якості верхньої межі інтегрування можна взяти <math>x_m = (W_F - W_c)/kT</math>. Це справедливо при <math>T = 0 </math>, проте навіть при більших температурах <math>T \ne 0 </math> цією оцінкою також можна користуватися, оскільки функція Фермі- Дірака швидко зменшується при <math>E > W_F </math>. Тоді інтеграл Фермі обчислюється безпосередньо:
: <math>n = N_c\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x_m} x^{1/2}\, dx = \frac{4}{3\sqrt{\pi}}N_cx_m^{3/2} = \frac{4}{3\sqrt{\pi}}N_c(\frac{W_F - W_c}{kT})^{3/2}</math>
При температурі абсолютного нуля всі стани в зоні, енергія яких <math>E > W_F </math>, є вільні, а всі стани з енергією <math>E < W_F </math>
Тому хімічний потенціал електронів <math>\zeta = W_F - W_c </math> є максимальна енергія електронів при <math>T = 0 </math>. Цю величину, яка відіграє важливу роль в теорії металів, часто називають [[енергія Фермі|енергією Фермі]].
У випадку сильного виродження вона буде:
: <math>\zeta = \frac{(3\pi)^{2/3}\hbar^2n^{2/3}}{2m_n}.</math>
Для напівпровідника <math>p- </math> типу, аналогічним чином в інтегралі Фермі <math>\Phi_{1/2}(\eta^*) </math> можна покласти <math>\exp (y - \eta^*) \gg 1,</math> а якості верхньої межі можна вибрати <math>y_m = (W_v - W_F)/kT </math>. Тоді енергія Фермі буде:
: <math>\eta = \frac{(3\pi)^{2/3}\hbar^2p^{2/3}}{2m_p}.</math>
=== Рівень Фермі у власному напівпровіднику ===
Рядок 142 ⟶ 143:
У випадку ''власного напівпровідника'' <math>p_i, n_i \ll n, p </math>, тому умова нейтральності приймає вигляд <math>n = p </math>. Якщо ширина забороненої зони напівпровідника досить велика, так що вона має дуже багато <math>kT </math>, і якщо ефективні маси електронів <math>m_n </math> та дірок <math>m_p </math> одного порядку величини, тоді рівень Фермі буде в достатній мірі віддалений від країв зон, і напівпровідник буде невиродженим. В цьому випадку ми маємо наступне співвідношення для концентрацій електронів <math>n </math> та дірок <math>p </math>:
: <math>N_c\exp \frac{W_F - W_c}{kT} = N_v\exp \frac{W_v - W_F}{kT} </math>,
звідки знаходимо величину рівня Фермі:
: <math>W_F = W_i - \frac{1}{2}kT \ln \frac{N_c}{N_v} = W_i - \frac{3}{4}kT \ln \frac{m_n}{m_p}</math>,
де <math>W_i = 0,5(W_v + W_c) </math>- енергія середини заборононеї зони.
При температурі абсолютного нуля <math>T = 0 </math> рівень Фермі розташований точно посередині забороненої зони. При підвищенні температури він віддаляється від зони більш важких носіїв заряду і наближається до зони більш легких.
Рядок 159 ⟶ 160:
Умова нейтральності в загальному випадку має вигляд:
: <math>p + p_i - n - n_i = 0 \ </math>.
При виконанні умови
Рядок 167 ⟶ 168:
її можна переписати:
: <math>\frac{N_d}{1 + \frac{g_1}{g_0}\exp \frac{W_F - W_d}{kT}} = N_c\Phi_{1/2}(\frac{W_F - W_d}{kT})</math>
Із цього рівняння можна визначити рівень Фермі <math>W_F </math>. Проте в загальному випадку для розв'язку необхідно використовувати чисельні методи. Тому розглянемо випадок невиродженого напівпровідника, коли:
: <math>\Phi_{1/2}(\frac{W_F - W_d}{kT}) \simeq \exp \frac{W_F - W_d}{kT}</math>.
Оскільки експоненту можна подати у вигляді:
Рядок 179 ⟶ 180:
де <math>\Im = W_c - W_d </math> енергія іонізації донора. Тому умову нейтральності можна переписати:
: <math>\frac{n^2}{N_d - n} = n_1(T)</math>,
де
: <math>n_1 = \frac{g_0}{g_1}N_c\exp (-\frac{\Im}{kT})</math>.
Останнє співвідношення приводить до квадратичного рівняння відносно <math>n </math>, позитивний корінь якого є:
: <math>n = \frac{n_1}{2}(\sqrt{1 + \frac{4N_d}{n_1}} - 1)</math>.
При достатньо низьких температурах, які визначаються умовою <math>(4N_d/n_1)^{1/2} \gg 1 </math>, значення кореня можна переписати:
: <math>n = (N_dN_c\frac{g_0}{g_1})^{1/2}\exp (-\frac{\Im }{2kT})</math>.
А при достатньо високих температурах, <math>(4N_d/n_1)^{1/2} \ll 1 </math>, отримуємо:
: <math>n = N_d . \ </math>
Цей випадок відповідає повній іонізації донорів.
Для знаходження залежності рівня Фермі від температури необхідно заново розв'язувати рівняння нейтральності. У випадку невироджених напівпровідників це дає:
: <math>W_F - W_c = kT \ln \frac{n_1}{2N_c}(\sqrt{1 + 4N_d/n_1} - 1)</math>.
При низькихї температурах, цю формулу можна переписати:
: <math>W_F - W_c = \frac{1}{2}(W_d - W_c) + \frac{1}{2}kT\ln (\frac{g_0N_d}{g_1N_c})</math>
Коли <math>T \to 0 </math>, тоді рівень Фермі <math>W_F </math> розташований посередині між <math>W_c </math> та <math>W_v </math>.
У випадку нескомпенсованих акцепторів справедливі аналогічні співвідношення.
=== Компенсовані напівпровідники ===
В реальних напівпровідниках ми маємо завжди крім доцільного введення донорів, деяку концентрацію компенсуючих їх акцепторів (і навпаки).
Це приводить навіть при малих концентраціях паразитних домішок до іншого типу температурної залежності концентрації носіїв заряду та рівня Фермі.
Умова нейтральності в даному випадку приймає вигляд:
: <math>n - p = N_d - N_a \ </math>.
Якщо <math>N_d > N_a </math>, то <math>n > p </math> і ми будемо мати напівпровідник <math>n - </math> типу. При малих температурах концентрацією неосновних носіїв заряду можна знехтувати, так що:
: <math>n \simeq N_d - N_a</math>.
Таким чином концентрація в зоні стає такою, що ніби- то в напівпровіднику є тільки донори, проте з трохи меншою концентрацією.
Якщо концентрація акцепторів більша від концентрації донорів, то ми будемо мати напівпровідник math>p
: <math>p \simeq N_a - N_d</math>.
Нарешті, якщо концентрації донорів та акцепторів рівні одна одній, тоді <math>n = p </math>. Крім того, для невиродженого напівпровідника маємо <math>np = n_i </math>, і тому концентрації електронів та дірок будуть одинаковими:
: <math>n = p = n_i \ </math>,
тобто симулюється ситуація ніби то в напівпровіднику повністю відсутні домішки.
Рядок 242 ⟶ 243:
Виражаючи знову експоненту через концентрацію електронів <math>n </math>, цю умову можна переписати у вигляді:
: <math>\frac{n(n + N_a)}{N_d - N_a - n} = n_1(T),</math>
де <math>n_1(T)</math> функція, яка уже розглянута вище. При <math>N_a = 0</math> це рівняння спрощується до вигляду, розглянутого вище. Проте при дуже низьких температурах, коли <math>n \ll N_a, N_d - N_a,</math> його можна переписати:
: <math>n = \frac{N_d - N_a}{N_a}\frac{g_0}{g_1}N_c\exp (-\frac{\Im_d}{kT}).</math>
Таким чином, в координатах <math>\ln (nT^{-3/2})</math> та <math>1/T </math> залежність <math>n(T) </math> має вигляд прямої лінії.
Проте в цьому випадку нахил цієї прямої рівний <math>\Im /k</math>, тобто відповідає не половині, а повній енергії іонізації <math>\Im </math>. Із останнього виразу видно, що концентрація компенсуючих акцепторів сильно впливає на концентрацію електронів в зоні і може змінювати її на багато порядків.
В загальному випадку домішкової провідності концентрація знаходиться шляхом розв'язку квадратного рівняння:
: <math>n = \frac{1}{2}(N_a + n_1)(\sqrt{1 + \frac{4(N_d - N_a)n_1}{(N_a + n_1)^2}} - 1)</math>.
При досить високих температурах, коли <math>\frac{4(N_d - N_a)n_1}{(N_a + n_1)^2} \ll 1</math> а також <math>n_1 \gg 1,</math>, тоді будемо мати:
Рядок 263 ⟶ 264:
Енергія Фермі у випадку компенсованих напівпровідників має вигляд:
: <math>W_F - W_c = kT \ln \frac{N_a + n_1}{2N_c}(\sqrt{1 + \frac{4(N_d - N_a)n_1}{(N_a + n_1)^2}} - 1)</math>.
При низьких температурах ця формула спрощується до вигляду:
: <math>W_F = W_d - kT \ln (\frac{N_a}{N_d - N_a}\frac{g_1}{g_0})</math>.
Якщо <math>T \to 0</math>, тоді <math>W_F </math> прямує до <math>W_d </math> тоді, як в нескомпенсованому напівпровіднику <math>W_F </math> знаходиться посередині між рівнями <math>W_c </math> та <math>W_d</math>.
Рядок 280 ⟶ 281:
* Зи С. Физика полупроводниковых приборов: В 2-х книгах. Кн.1. Пер. с англ.- 2-е переработ. и доп. изд.-М.: Мир, 1984.-456с.
* Шокли В. Теория электронных полупроводников. М.: Изд И-Л, 1953.- 714с.
* Бонч- Бруевич В. Л., Калашников С. Г.
== Посилання ==
* [http://lp.edu.ua//fileadmin/IPMFN/KF/zachek/zachek10_Word.doc Елементи фізики твердого тіла]
| |||