Лінеаризація: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Addbot (обговорення | внесок) м Вилучення 11 інтервікі, відтепер доступних на Вікіданих: d:q1520713 |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
'''Лінеаризáція''' — ({{lang-la|linearis }} — лінійний), один з методів наближеного подання [[нелінійна система|нелінійних систем]], при якому дослідження нелінійної системи замінюється аналізом [[лінійна система|лінійної системи]], в деякому розумінні еквівалентної початковій. Методи лінеаризації мають обмежений характер, тобто еквівалентність початкової нелінійної системи і її лінійного наближення зберігається лише при певному «режимі» роботи системи, а якщо система переходить з одного режиму роботи на іншій, то слід змінити і її лінеаризировану [[модель]]. Застосовуючи лінеаризацію, можна з'ясувати багато якісних і особливо кількісних властивостей нелінійної системи.
==Лінеаризація функції==
Лінеаризація функції — це дієвий метод для наближеного обчислення значення функції <math>y = f(x)</math> в будь-якій <math>x = a,</math> беручи за основу [[Кутовий коефіцієнт прямої|нахил]] функції в <math>x = b</math>, за умови неперервності <math>f(x)</math> на <math>[a, b]</math> (або <math>[b, a]</math>) і того, що <math>a</math> достатньо близько до <math>b</math>. Коротко, лінеаризація обчислює наближене значення функції біля <math>x = a</math>.
Наприклад, <math>\sqrt{4} = 2</math>. Однак, що буде хорошим наближенням для <math>\sqrt{4.001} = \sqrt{4 + .001}</math>?
Будь-яку функцію <math>y = f(x)</math> можна лінеаризувати якщо вона неперервна біля цікавої нам точки. Для лінеаризації <math>L_a(x)</math> функції <math>f(x)</math> в точці <math>x = a</math> виконується <math>L_a(a) = f(a)</math>. Загальною формою рівняння в околі точки <math>(y_0, x_0)</math> при нахилі <math>M</math> є: <math>y - y_0 = M(x - x_0)</math>.
Використовуючи точку <math>(a, f(a))</math>, <math>L_a(x)</math> набуває вигляду <math>y = f(a) + M(x - a)</math>. Бо неперервні функції є [[Диференційовна функція|локально лінійні]], найкращим нахилом для підстановки буде нахил [[дотична|дотичної]] до <math>f(x)</math> у <math>x = a</math>.
[[Image:Tangent-calculus.svg|thumb|300px|An approximation of f(x)=x^2 at (''x'', ''f''(''x''))]]
Візуально, на зображені показана дотична лінії для <math>f(x)</math> у <math>x</math>. В <math>x + h</math>, де <math>h</math> є будь-яким достатньо малим по модулю значенням, <math>f(x+h)</math> дуже близьке до значення на дотичній в точці <math>(x+h, L(x+h))</math>.
У результаті отримуємо рівняння для лінеаризації функції в <math>x = a</math>:
<math>y = f(a) + f'(a)(x - a)\,</math>
==Приклад==
Щоб знайти <math>\sqrt{4.001}</math>, ми можемо використати те, що <math>\sqrt{4} = 2</math>. Лінеаризацією <math>f(x) = \sqrt{x}</math> в <math>x = a</math> є <math>y = \sqrt{a} + \frac{1}{2 \sqrt{a}}(x - a)</math>, бо функція <math>f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}</math> визначає нахил функції <math>f(x) = \sqrt{x}</math> в <math>x</math>. При <math>a = 4</math>, лінеаризація в 4 є <math>y = 2 + \frac{x-4}{4}</math>. У цьому випадку <math>x = 4.001</math>, отже <math>\sqrt{4.001}</math> це приблизно <math>2 + \frac{4.001-4}{4} = 2.00025</math>. Справжнє значення близьке до 2.00024998.
[[Категорія:Системологія]]
| |||