Відмінності між версіями «Інтеграл Рімана»

# даний інтеграл не існує, оскільки підінтегральна функція необмежена на відрізку [-1, 1];
# функція ''f''(''x'') розривна в точці ''x'' = 0, яка належить відрізку інтегрування, тому вона не має первісної на цьому відрізку.
</div>
 
== Інтеграл Рімана як функція верхньої межі інтегрування ==
=== Означення ===
Припустимо, що ''f'' &isin; ''R''([''a'',&nbsp;''b'']) (отже, ''f'' &isin; ''R''([''a'',&nbsp;''x'']) для довільного ''x'' &isin; [''a'',&nbsp;''b'']). Покладемо
: <math> \varphi(x):= \int_a^x f(u) \, du, \quad x \in [a,b]. </math>
Вочевидь, ''φ''(''а'') = 0.
 
=== Властивості ===
* Якщо ''f'' &isin; ''R''([''a'',&nbsp;''b'']), то ''φ'' &isin; ''С''([''a'',&nbsp;''b'']).
 
* Якщо ''f'' &isin; ''C''([''a'',&nbsp;''b'']), то ''φ'' &isin; ''С''<sup>1</sup>([''a'',&nbsp;''b'']), причому для довільного ''x'' &isin; [''a'',&nbsp;''b'']: ''<nowiki>φ'</nowiki>''(''x'') = ''f''(''x'').
 
* Якщо ''f'' &isin; ''C''([''a'',&nbsp;''b'']), то ''f'' має первісну на [''a'',&nbsp;''b'']. Первісними для ''f'' на [''a'', ''b''] будуть функції вигляду ''φ''(''x'') +'' c'', ''c'' ∈ ℝ.
 
=== Формула Лейбніца ===
{{plain theorem}} Нехай
# ''f'' : ℝ → ℝ iнтегровна за Рiманом по кожному вiдрiзку;
# ''f'' має первiсну на ℝ;
# функцiї ''a'', ''b'' : ℝ → ℝ диференцiйовнi на ℝ.
 
Тодi
: <math> \frac{d}{dx} \int_{a(x)} ^{b(x)} f(u) \, du = f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x),\quad x\in\R. </math>
</div>
 
334

редагування