Інтеграл Рімана: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
м додана Категорія:Інтегральне числення з допомогою HotCat |
додано розділ →Інтеграл Рімана як функція верхньої межі інтегрування |
||
Рядок 163:
# даний інтеграл не існує, оскільки підінтегральна функція необмежена на відрізку [-1, 1];
# функція ''f''(''x'') розривна в точці ''x'' = 0, яка належить відрізку інтегрування, тому вона не має первісної на цьому відрізку.
</div>
== Інтеграл Рімана як функція верхньої межі інтегрування ==
=== Означення ===
Припустимо, що ''f'' ∈ ''R''([''a'', ''b'']) (отже, ''f'' ∈ ''R''([''a'', ''x'']) для довільного ''x'' ∈ [''a'', ''b'']). Покладемо
: <math> \varphi(x):= \int_a^x f(u) \, du, \quad x \in [a,b]. </math>
Вочевидь, ''φ''(''а'') = 0.
=== Властивості ===
* Якщо ''f'' ∈ ''R''([''a'', ''b'']), то ''φ'' ∈ ''С''([''a'', ''b'']).
* Якщо ''f'' ∈ ''C''([''a'', ''b'']), то ''φ'' ∈ ''С''<sup>1</sup>([''a'', ''b'']), причому для довільного ''x'' ∈ [''a'', ''b'']: ''<nowiki>φ'</nowiki>''(''x'') = ''f''(''x'').
* Якщо ''f'' ∈ ''C''([''a'', ''b'']), то ''f'' має первісну на [''a'', ''b'']. Первісними для ''f'' на [''a'', ''b''] будуть функції вигляду ''φ''(''x'') +'' c'', ''c'' ∈ ℝ.
=== Формула Лейбніца ===
{{plain theorem}} Нехай
# ''f'' : ℝ → ℝ iнтегровна за Рiманом по кожному вiдрiзку;
# ''f'' має первiсну на ℝ;
# функцiї ''a'', ''b'' : ℝ → ℝ диференцiйовнi на ℝ.
Тодi
: <math> \frac{d}{dx} \int_{a(x)} ^{b(x)} f(u) \, du = f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x),\quad x\in\R. </math>
</div>
| |||