Вікіпедія

Первісна: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
(Переглянути усі неперевірені зміни)
[неперевірена версія][неперевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
Knu mechmat (обговорення | внесок)
334 редагування
Knu mechmat (обговорення | внесок)
334 редагування
замість методів інтегрування та прикладів вставлено відповідні посилання
Рядок 4:
[[Операція (математика)|Операція]] взяття первісної є [[обернена функція|оберненою]] (в деякому сенсі) до операції взяття похідної: первісними для похідної ''f'''(''x'') будуть функції ''f''(''x'') + ''C'', де ''C'' ∈ ''R'' — довільна [[стала]] (зокрема, однією з первісних буде сама функція ''f''(''x'')). І навпаки, похідною від первісної для функції ''f''(''x'') буде сама функція ''f''(''x'').
 
== Формальне означення та властивості первісної ==
== Опис ==
 
Надалі через ''J'' будемо позначати довільний непорожній [[інтервал (математика)#Вища математика|інтервал]] дійсних чисел (відкритий або замкнений, обмежений або необмежений).
Рядок 35:
не має первісної на [[відрізок#Відрізок числової прямої|відрізку]] {{nowrap|<nowiki>[</nowiki>−1, 1<nowiki>]</nowiki>}}.<ref>Доведення див. в §&nbsp;5.1.1 в Дороговцев&nbsp;А.&nbsp;Я. ''Математический анализ''.&nbsp;— К. : Факт, 2004.&nbsp;— 560с.</ref>
 
'''Теорема''' Для довільної [[неперервна функція|неперервної]] на деякому інтервалі ''J'' функції
''f'' існує первісна на цьому інтервалі.<ref>Доведення див. в п.&nbsp;183
Фихтенгольц&nbsp;Г.&nbsp;М. ''Основы математического анализа'' в 2 т. / Под ред. Головиной&nbsp;Л.&nbsp;И.&nbsp;— Москва : Наука, 196.&nbsp;— 1968.&nbsp;— Т.&nbsp;1.
Рядок 41:
<!-->(див. \hreff{Основну теорему аналізу})<-->
 
== Нотація ==
У виразі <math>\int f(x)dx,</math> символ <math>\int </math> має назву [[Інтеграл|інтеграла]], <math>f(x)</math> має назву '''підінтегральної функції''', <math>f(x)dx</math> зветься '''підінтегральним виразом''', а <math>x</math> зветься '''змінною інтегрування'''.
 
== Методи інтегруваннязнаходження первісної ==
{{Докладніше|Методи інтегрування}}
 
Знаходження первісної для заданої функції ''f''(''x'') називається ''інтегруванням''. Для обчислення первісної використовуються ті самі методи, що і для обчислення [[невизначений інтеграл|невизначеного інтегралу]], а саме
Знаходження первісної функції для заданої функції <math> f(x) \, </math> називається ''інтегруванням''. В загальному випадку для будь-якої фукнції, заданої за допомогою аналітичного виразу, не існує аналітичного виразу для первісної. Однак, є чимало випадків, коли первісну від функції можна виразити через елементарні функції. Існує два базові методи знаходження первісних: метод підстановки та метод інтегрування частинами.
** [[Таблиця основних формул інтегрування]]▼
** [[Методи інтегрування#Метод підстановки (заміни змінної)|Метод підстановки (або формула заміни змінної)]]▼
** [[Інтегрування частинами|Метод інтегрування частинами]]▼
 
Не завжди первісну можна записати у вигляді скінченної комбінації [[елементарні функції|елементарних функцій]] (наприклад, функція exp(''x''<sup>2</sup>) має первісну як неперервна функція, проте ця первісна не виражається аналітично). В такому разі первісну треба шукати у вигляді функціонального [[ряд|ряду]] або [[нескінченний добуток|нескінченного добутку]] елементарних функцій.
=== Метод підстановки ===
В методі підстановки (заміни змінної) вводиться нова змінна, зв'язана із початковою змінною x певним співвідношенням. Якщо позначити цю змінну t, то співвідношення заміни змінної запишеться у вигляді <math>t = g(x) </math>. Відповідно, для диференціалів <math> dt = g^\prime(x) dx </math>. Тоді
: <math> \int f(x) dx = \int f(x) \frac{dt}{g^\prime(x)} </math>.
В цей вираз потрібно підставити змінну х через змінну t. Якщо підстановку вибрати правильно, то загальний вираз спроститься.
 
==== Приклад ====
Нехай потрібно взяти інтеграл
: <math>\int \frac{dx}{1+ e^{-x}} </math>.
 
Вводимо нову змінну <math> t = e^x </math>. Тоді <math> dt = e^x dx </math>. Інтеграл переписується
: <math>\int \frac{dx}{1+ e^{-x}} = \int \frac{dt}{e^x(1+ e^{-x})} = \int \frac{dt}{e^x+ 1} = \int \frac{dt}{t+ 1} = \text{ln } |t+1| + C =
\text{ln } |e^x +1| + C</math>
 
=== Метод інтегрування частинами ===
В цьому методі використовується властивість
: <math> \int udv = uv - \int v du </math>,
 
де u і v&nbsp;— деякі диференційовані функції підінтегральної змінної. Вдале застосування цієї властивості дозволяє спростити інтегрування. В деяких випадках доводиться інтегрувати частинами кілька разів.[htpp://http://essuir.sumdu.edu.ua/handle/123456789/16542 Курс лекцій з математичного аналізу СумДу]
 
==== Приклад ====
Нехай потрібно взяти інтеграл
: <math>\int x \cos x dx = \int x d(\sin x) = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C </math>
 
== Див. також ==
Рядок 76 ⟶ 57:
* [[Інтегральне числення]]
* [[Невизначений інтеграл]]
▲** [[Таблиця основних формул інтегрування]]
▲** [[Методи інтегрування#Метод підстановки (заміни змінної)|Метод підстановки (або формула заміни змінної)]]
▲** [[Інтегрування частинами|Метод інтегрування частинами]]
* [[Невизначений інтеграл функції комплексної змінної]]
 
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Первісна