Первісна: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Перенаправлено на Первісна та невизначений інтеграл |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
[[Файл:Slope Field.png|thumb|Поле напрямків функції ''ƒ''(''x'') = (x<sup>3</sup>/3)-(x<sup>2</sup>/2)-x+c, на якому зображено три розв'язки, отримані шляхом варіювання довільної константи ''C''.]]
[[Функція]] <math>F(x)</math> зветься '''первісною''' функції <math>f(x)</math> на деякому [[Інтервал (математика)|інтервалі]] [[дійсні числа|дійсних чисел]], якщо <math>f(x)</math> — [[похідна]] функції <math>F(x)</math> на цьому інтервалі, тобто в усіх внутрішніх точках інтервалу виконується рівність
: <math>F'(x)=f(x). \!</math>
Можна довести, що у будь-якої [[неперервна функція|неперервної]] на інтервалі функції <math>f(x)</math> існує первісна, яка також є неперервною функцією на цьому інтервалі.
Якщо <math>F(x)</math> — будь-яка первісна функція <math>f(x),</math> то <math>F(x)+C</math>, де C - довільна стала, — також первісна цієї функції і "невизначений інтеграл функції <math>f(x)</math>" посилається до множини <math>\{F(x)+C| C\in\mathbb{R}\},</math> яка складається з усіх первісних функції <math>f(x),</math> де <math>C</math> — довільна [[константа]].
== Нотація ==
У виразі <math>\int f(x)dx,</math> символ <math>\int </math> має назву [[Інтеграл|інтеграла]], <math>f(x)</math> має назву '''підінтегральної функції''', <math>f(x)dx</math> зветься '''підінтегральним виразом''', а <math>x</math> зветься '''змінною інтегрування'''.
== Методи інтегрування ==
{{Докладніше|Методи інтегрування}}
Знаходження первісної функції для заданої функції <math> f(x) \, </math> називається ''інтегруванням''. В загальному випадку для будь-якої фукнції, заданої за допомогою аналітичного виразу, не існує аналітичного виразу для первісної. Однак, є чимало випадків, коли первісну від функції можна виразити через елементарні функції. Існує два базові методи знаходження первісних: метод підстановки та метод інтегрування частинами.
=== Метод підстановки ===
В методі підстановки (заміни змінної) вводиться нова змінна, зв'язана із початковою змінною x певним співвідношенням. Якщо позначити цю змінну t, то співвідношення заміни змінної запишеться у вигляді <math>t = g(x) </math>. Відповідно, для диференціалів <math> dt = g^\prime(x) dx </math>. Тоді
:<math> \int f(x) dx = \int f(x) \frac{dt}{g^\prime(x)} </math>.
В цей вираз потрібно підставити змінну х через змінну t. Якщо підстановку вибрати правильно, то загальний вираз спроститься.
==== Приклад ====
Нехай потрібно взяти інтеграл
:<math>\int \frac{dx}{1+ e^{-x}} </math>.
Вводимо нову змінну <math> t = e^x </math>. Тоді <math> dt = e^x dx </math>. Інтеграл переписується
:<math>\int \frac{dx}{1+ e^{-x}} = \int \frac{dt}{e^x(1+ e^{-x})} = \int \frac{dt}{e^x+ 1} = \int \frac{dt}{t+ 1} = \text{ln } |t+1| + C =
\text{ln } |e^x +1| + C</math>
=== Метод інтегрування частинами ===
В цьому методі використовується властивість
:<math> \int udv = uv - \int v du </math>,
де u і v - деякі диференційовані функції підінтегральної змінної. Вдале застосування цієї властивості дозволяє спростити інтегрування. В деяких випадках доводиться інтегрувати частинами кілька разів.[htpp://http://essuir.sumdu.edu.ua/handle/123456789/16542 Курс лекцій з математичного аналізу СумДу]
==== Приклад ====
Нехай потрібно взяти інтеграл
:<math>\int x \cos x dx = \int x d(\sin x) = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C </math>
== Див. також ==
* [[Похідна]]
* [[Таблиця інтегралів]]
== Література ==
* {{cite book
|автор = Г. М. Фихтенгольц
|title = Курс дифференциального и интегрального исчисления
|видавництво = Наука
|дата = 1969
|знаходження = Москва}}
== Посилання ==
* [http://fizma.net/index.php?idi=alg/int Динамічні математичні моделі FIZMA.neT]
* [http://essuir.sumdu.edu.ua/handle/123456789/16542 Іваненко, О.О. Курс лекцій з математичного аналізу [Текст] : навч. посіб. / О.О. Іваненко, Т.В. Іваненко. - Суми : СумДУ, 2011. - 534 с.]
{{math-stub}}
[[Категорія:Математичний аналіз]]
[[Категорія:Інтегральне числення]]
[[Категорія:Математична термінологія]]
{{Link FA|km}}
| |||