Площа поверхні: відмінності між версіями

Якщо [[параметрична поверхня|поверхню параметризовано]], тобто, задано [[векторна функція|векторною функцією]] <math>\mathbf{r}(u,v)</math>, тоді площа <math>S</math>, поверхні <math>(u,v)\in \Omega</math>, обчислюється за формулою:<ref>{{cite book|title=CRC Concise Encylopedia of Mathematics|author=Eric Weisstein}}</ref>

: <math>S = \iint\limits_{\Omega} dS = \iint\limits_{\Omega'} | \mathbf{T}_ur_u \times \mathbf{T}_vr_v| du dv</math>,

де <math>r_u=\mathbffrac{T\partial r}{\partial u}_u</math> та <math>r_v=\mathbffrac{T\partial r}{\partial v}_v</math>&nbsp;— дотичні вектори, <math>\mathbf{a}r_u \times\mathbf{b} r_v</math>&nbsp;— [[векторний добуток]] двох векторів.

: <math>S = \iint\limits_{\Omega'}\sqrt{EG-F^2}\,du dv</math>,

де <math>E, F, G</math> -&nbsp;— коефіцієнти [[КарлПерша Фрідріхквадратична Гаусформа|Гаусапершої квадратичної форми]], <math>E = \left(\mathbf{T}_ur_u,\mathbf{T}_ur_u\right), G = \left(\mathbf{T}_vr_v,\mathbf{T}_vr_v\right), F = \left(\mathbf{T}_ur_u,\mathbf{T}_vr_v\right)</math>.

Якщо поверхню <math>\Omega</math> задано функцією <math>z = z(x,y)</math> над деякою областю <math>(x,y)\in\Omega '</math> (або <math>\Omega '</math> є [[проекція|проекцією]] поверхні <math>\Omega</math> на площину <math>xOy</math> <ref>{{cite book|title=Лекции по Высшей Математика|author=Мышкис А. Д.|year=1973}}</ref>), тоді

: <math> S = \iint\limits_{\Omega}d\Omega = \iint\limits_{\Omega '} \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y} \right)^2 + 1}\, dx dy.</math>