Метрика простору-часу: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Addbot (обговорення | внесок) м Вилучення 3 інтервікі, відтепер доступних на Вікіданих: d:q2045231 |
Kirsim (обговорення | внесок) вікіфікація |
||
Рядок 1:
{{About|метрику в загальній теорії відносності|про поняття метрики взагалі|метричний тензор}}
[[
'''Ме́трика про́стору-ча́су'''
== Опис поняття ==
[[Просторово-часовий інтервал]] виражається через метрику простору-часу формулою
: <math> ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j \, </math>.
де <math> g_{ij} </math>
В [[інерційна система відліку|інерційній системі]] відліку матриця метричного тензора простору-часу має вигляд
: <math> \hat{g} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right) </math>.
В неінерційних системах відліку вигляд метрики простору-часу змінюється і загалом залежить від точки простору і моменту часу.
Метрика простору-часу задає викривлення простору, яке відчуває [[спостерігач]], що рухається з [[прискорення]]м. Оскільки за [[принцип еквівалентності|принципом еквівалентності]] спостерігач жодним чином не може відрізнити неінерційність зв'язаної з ним системи відліку від гравітаційного поля, то метрика простору-часу визначає також викривлення простору в полі [[маса|масивних]] [[фізичне тіло|тіл]].
Метрика простору-часу використовується для встановлення зв'язку між коваріантними і контраваріантними записами будь-якого 4-вектора
: <math> A_i = g_{ij}A^j \, </math>.
== Властивості ==
Метричний тензор симетричний відносно своїх індексів, тобто <math> g_{ij} = g_{ji} </math>. Це видно із загальної формули для квадрата диференціалу просторово-часового інтрервалу.
[[Детермінант]] метрики простору часу, який позначається g, від'ємний.
Контраваріантна форма метричного тензора зв'язана з коваріантною за допомогою повністю антисиметричного тензора четвертого порядку
: <math> E^{ijkl} = \frac{1}{\sqrt{-g}} e^{ijkl} \,</math>,
де <math> e^{ijkl}</math>
Таким чином
: <math> g^{ij} = \frac{1}{\sqrt{-g}} e^{ijkl} g_{kl} \, </math>
Метричний тензор, як будь-який симетричний тензор, можна вибором системи відліку звести до діагонального вигляду. Проте ця операція справедлива лише в певній точці простору-часу, і, в загальному випадку, не може буде проведена для всього простору-часу.
== Власний час ==
Квадрат диференціалу просторово-часового інтервалу для однієї просторової точки дорівнює
: <math> ds^2 = g_{00} (dx^0)^2 = c^2 d\tau^2\; </math>,
де c
Величину
: <math> \tau = \frac{1}{c}\int\sqrt{g_{00}} dx^0 </math>
називають '''власним часом''' для даної точки простору.
== Просторовий інтервал ==
Квадрат віддалі між двома нескінченно близькими точками задається формулою
: <math> dl^2 = \gamma_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta = \left( - g_{\alpha\beta} + \frac{g_{\alpha 0} g_{0\beta}}{g_{00}} \right) dx^\alpha dx^\beta </math>
Грецькі індекси використовуються тоді, коли підсумовування ведеться лише по просторових координатах. Тензор <math> \gamma_{\alpha\beta}</math> є метричним тензором для тривимірного простору.
Інтегрувати визначену таким чином віддаль не можна, оскільки результат залежав би від світової лінії, по якій велося б інтегрування. Таким чином, у загальній теорії відносності поняття віддалі між далекими об'єктами в тривимірному просторі втрачає сенс. Єдиний виняток
== Джерела ==
*
|автор=Ландау Л.Д., Лившиц Е.М.
|назва=Теоретическая физика. т. ІІ. Теория поля.
Рядок 62:
|рік=1974
|видавництво=Наука.
|знаходження=Москва}}
{{Вікіфікувати|дата=Лютий 2010}}
| |||