Тензор кривини: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
|||
Рядок 1:
Тензор Рімана <math>R^s_{\,ijk}</math> (тензор внутрішньої кривини многовида) з'являється при розгляді комутатора коваріантних похідних коваріантного вектора (дивіться статтю [[Диференціальна геометрія]])
: <math>(1) \qquad [\nabla_j \nabla_k] a_i = - R^s_{\,ijk} a_s</math>▼
: <math>(2) \qquad R^s_{\,ijk} = \partial_j \Gamma_{ik}^s - \partial_k \Gamma_{ij}^s + \Gamma_{ij}^p \Gamma_{pk}^s - \Gamma_{ik}^p \Gamma_{pj}^s </math>
Замість коваріантних компонент <math>a_i</math> можна підставити базисні вектори <math>\mathbf{r}_i</math>:
: <math>(
І враховуючи, що коваріантна похідна від базисних векторів <math>\nabla_j \mathbf{r}_i</math> дорівнює векторам повної кривини <math>\mathbf{b}_{ij}</math> (дивіться [[Прості обчислення диференціальної геометрії]]), маємо:
: <math>(3) \qquad \nabla_j \mathbf{b}_{ik} - \nabla_k \mathbf{b}_{ij} = - R^s_{\,ijk} \mathbf{r}_s </math>
Домножимо формулу (3) скалярно на <math>\mathbf{r}_p</math>, i врахуємо ортогональність векторів кривини до многовиду: <math>(\mathbf{r}_s \cdot \mathbf{b}_{ij}) = 0</math>. В результаті одержуємо формулу для коваріантних компонент тензора Рімана:
▲: <math>(1) \qquad [\nabla_j \nabla_k] a_i = - R^s_{\,ijk} a_s</math>
Для контраваріантного векора маємо відповідно:▼
▲: <math>(2) \qquad [\nabla_j \nabla_k] a^i = R^i_{\,sjk} a^s</math>
: <math> - R_{pijk} = - R^s_{\,ijk} (\mathbf{r}_p \cdot \mathbf{r}_s) = -(\mathbf{r}_p \cdot (\nabla_j \mathbf{b}_{ik})) + (\mathbf{r}_p \cdot (\nabla_k \mathbf{b}_{ij})) = </math>
При дії комутатора на довільний тензор з будь-якою кількістю верхніх та нижніх індексів, маємо:▼
: <math>
: <math> = - ( 0 - (\mathbf{b}_{jp} \cdot \mathbf{b}_{ik})) + (0 - (\mathbf{b}_{kp} \cdot \mathbf{b}_{ij})) = (\mathbf{b}_{pj} \cdot \mathbf{b}_{ik}) - (\mathbf{b}_{pk} \cdot \mathbf{b}_{ij}) </math>
або після зміни знаку і перейменування індексів:
Тензор Рімана виражається через вектори повної кривини <math>\mathbf{b}_{ij}</math>:▼
: <math>(4) \qquad R_{
Як можна побачити з останнього рівняння, тензор Рімана антисиметричний по першій парі індексів <math>si</math> і по другій парі індексів <math>jk</math>:
Рядок 28 ⟶ 32:
Враховуючи (4), маємо:
: <math>(10) \qquad R = (\mathbf{b}_i^i)^2 - (\mathbf{b}_i^j \cdot \mathbf{b}_j^i) </math>
▲Для контраваріантного векора маємо відповідно:
: <math>(11) \qquad [\nabla_j \nabla_k] a^i = R^i_{\,sjk} a^s</math>
▲При дії комутатора на довільний тензор з будь-якою кількістю верхніх та нижніх індексів, маємо:
: <math>(3) \qquad [\nabla_j \nabla_k] T_{l_1 l_2 \cdots}^{i_1 i_2 \cdots} = R^{i_1}_{\,sjk} T_{l_1 l_2 \cdots}^{s i_2 \cdots} + R^{i_2}_{\,sjk} T_{l_1 l_2 \cdots}^{i_1 s \cdots} + \cdots - R^s_{\, l_1 jk} T_{s l_2 \cdots}^{i_1 i_2 \cdots} - R^s_{\, l_2 jk} T_{l_1 s \cdots}^{i_1 i_2 \cdots}</math>
▲Тензор Рімана виражається через вектори повної кривини <math>\mathbf{b}_{ij}</math>:
: <math>(4) \qquad R_{sijk} = (\mathbf{b}_{sj} \cdot \mathbf{b}_{ik}) - (\mathbf{b}_{sk} \cdot \mathbf{b}_{ij})</math>
Тензор Рімана задовольняє дві тотожності Біанкі. <br>
| |||