Вікіпедія

Потужність множини: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
(Переглянути усі неперевірені зміни)
[неперевірена версія][перевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
Yelysavet (обговорення | внесок)
24 289 редагувань
Yelysavet (обговорення | внесок)
24 289 редагувань
Немає опису редагування
Рядок 1:
'''Потужність множини''', або '''кардинальне число множини''', — характеристика множин (у тому числі [[нескінченна множина|нескінченних]]), що узагальнює поняття кількості (числа) елементів скінченної множини.
'''Потужність множини''' — в [[теорія множин|теорії множин]] узагальнення поняття кількості елементів [[множина|множини]]. Потужність множини ''A'' позначають як |''A''| або #''A'' та називають [[кардинальне число|кардинальним числом]] (або кардиналом).
 
В основі цього поняття лежать природні уявлення про порівняння множин:
 
# Будь-які дві множини, між елементами яких може бути встановлено взаємно однозначну відповідність ([[Бієкція]]), містять однакову кількість елементів (мають однакову потужність).
# Зворотно: множини, рівні за потужністю, мусять допускати таке взаємно однозначну відповідність.
# Частина множини не перевершує повної множини за потужністю (тобто за кількістю елементів).
 
До побудови теорії потужності множин, множини розрізнялися за ознаками: порожня/непорожня і скінченна/нескінченна, також скінченні множини розрізнялися за кількістю елементів. Нескінченні ж множини не можна було порівняти.
 
Потужність множин дозволяє порівнювати нескінченні множини.
Наприклад [[зліченна множина|зліченні множини]] є самими «маленькими» нескінченними множинами.
 
Потужність множини <math>A</math> позначається через <math>|A|</math>.
Сам Кантор використовував позначення <math>\overline{\overline{A}}</math>.
Іноді зустрічаються позначення <math>\# A</math> и <math>\mathrm{card}(A)</math>.
 
== Потужність скінченних множин ==
Рядок 6 ⟶ 21:
Між двома скінченними множинами A і B існує взаємно однозначна відповідність тоді і тільки тоді, коли їхні потужності збігаються, тобто |A|=|B|.
 
Нехай ''A'' = {a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,…,a<sub>n</sub>} &nbsp;— [[скінченна множина]] з ''n'' елементів (|A|=n), тоді кількість усіх [[підмножина|підмножин]] множини A дорівнює 2<sup>n</sup>, тобто 2<sup>|A|</sup>.
 
Множину всіх [[підмножина|підмножин]] деякої множини ''A'' (скінченної або нескінченної) часто позначають через β(''A'') (або B(''A'') чи 2<sup>|A|</sup>) і називають [[булеан|булеаном]]ом множини A. Очевидно, що для скінченної множини ''A'' виконується |B(A)|= 2<sup>|A|</sup>.
 
== Потужність нескінченних множин ==
Рядок 36 ⟶ 51:
 
=== Потужність континууму ===
Про множини, рівнопотужні множині дійсних чисел [або дійсних чисел з інтервалу (0, 1)] кажуть, що вони мають потужність [[континуум|континуума]]а, і потужність таких множин позначається символом ''c''. [[Континуум-гіпотеза]] стверджує, що с=<math>\aleph_1</math>.
 
== Властивості ==
Рядок 55 ⟶ 70:
== Література ==
 
* ''А. &nbsp;А. &nbsp;Болибрух,'' Проблемы Гильберта (100 лет спустя), Глава 2 [http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=2&page=2 Первая проблема Гильберта: континуум-гипотеза], Библиотека «Математическое просвещение», Выпуск 2
* ''Р.Курант, Г.Роббинс,'' [http://www.mccme.ru/free-books/pdf/kurant.htm Что такое математика?] Глава II, § &nbsp;4.
* {{книга
|заголовок = Факультативный курс по математике. 7-9
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Потужність_множини