В геофізиці рівняння Цьопріца (англ. Zoeppritz equations ) — система рівнянь, яка описує перетворення амплітуд відбитих і заломлених плоских хвиль, що утворюються при різних кутах падіння на жорсткій плоскій границі двох однорідних, ізотропних пружних середовищ[1] [2] .
Вони були отримані в 1907 році німецьким геофізиком Карлом Бернхардом Цьопріцем [en] (опубліковані в 1919 р. вже після його смерті[3] ), і описують в термінах амплітуд зміщення те саме явище, яке описується рівняннями Кнотта в термінах потенціалів зміщення.
Хвилі, збурені на границі розділу двох середовищ при падінні плоскої поздовжньої хвилі
Ця задача була вперше розглянута Джорджем Гріном в 1839 р. Грін намагався пояснити відбиття і заломлення світла за допомогою теорії пружних хвиль. Однак він не завершив усіх алгебраїчних перетворень, необхідних для випадку, коли два напівпростори мають зовсім різні пружні модулі та густини. Узагальнення виконали Кнотт в 1899 р. і незалежно від нього Цьопріц в 1907 р[2] .
Рівняння Цьопріца є основою для AVO-аналізу — корисного методу виявлення резервуарів вуглеводнів [4] .
Рівняння Цьопріца для падаючої поздовжньої хвилі
ред.
Довільний кут падіння хвилі
ред.
Нехай з верхнього середовища у нижнє падає плоска поздовжня хвиля з амплітудою зміщення
A
0
{\displaystyle A_{0}}
під кутом
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}}
, відмінним від нуля. Тоді на плоскій границі розділу середовищ утворюються чотири хвилі: поздовжня відбита (
A
1
,
θ
1
′
{\displaystyle A_{1},\theta _{1}^{'}}
), поперечна відбита (
B
1
,
δ
1
{\displaystyle B_{1},\delta _{1}}
), поздовжня заломлена (
A
2
,
θ
2
{\displaystyle A_{2},\theta _{2}}
) і поперечна заломлена (
B
2
,
δ
2
{\displaystyle B_{2},\delta _{2}}
).
Параметри середовища вказані на рисунку:
σ
{\displaystyle \sigma }
— густина,
V
P
,
V
S
{\displaystyle V_{P},V_{S}}
— швидкості поширення відповідно поздовжніх і поперечних хвиль. Стрілки показують додатні напрямки для амплітуд. Кути на рисунку пов'язані між собою законом Снеліуса :
sin
θ
1
V
P
1
=
sin
θ
2
V
P
2
=
sin
δ
1
V
S
1
=
sin
δ
2
V
S
2
=
p
{\displaystyle {\frac {\sin {\theta _{1}}}{V_{P1}}}={\frac {\sin {\theta _{2}}}{V_{P2}}}={\frac {\sin {\delta _{1}}}{V_{S1}}}={\frac {\sin {\delta _{2}}}{V_{S2}}}=p}
,
де
p
{\displaystyle p}
є хвильовим параметром .
В цьому випадку система рівнянь Цьопріца матиме наступний вигляд[1] :
{
A
1
cos
θ
1
−
B
1
sin
δ
1
+
A
2
cos
θ
2
+
B
2
sin
δ
2
=
A
0
cos
θ
1
,
A
1
sin
θ
1
+
B
1
cos
δ
1
−
A
2
sin
θ
2
+
B
2
cos
δ
2
=
−
A
0
sin
θ
1
,
A
1
Z
1
cos
2
δ
1
−
B
1
W
1
sin
2
δ
1
−
A
2
Z
2
cos
2
δ
2
−
B
2
W
2
sin
2
δ
2
=
−
A
0
Z
1
cos
2
δ
1
,
A
1
V
S
1
V
P
1
W
1
sin
2
θ
1
+
B
1
W
1
cos
2
δ
1
+
A
2
V
S
2
V
P
2
W
2
sin
2
θ
2
−
B
2
W
2
cos
2
δ
2
=
A
0
V
S
1
V
P
1
W
1
sin
2
θ
1
,
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{llllllll}A_{1}\cos \theta _{1}&-&B_{1}\sin \delta _{1}&+&A_{2}\cos \theta _{2}&+&B_{2}\sin \delta _{2}&=A_{0}\cos \theta _{1},\\A_{1}\sin \theta _{1}&+&B_{1}\cos \delta _{1}&-&A_{2}\sin \theta _{2}&+&B_{2}\cos \delta _{2}&=-A_{0}\sin \theta _{1},\\A_{1}Z_{1}\cos 2\delta _{1}&-&B_{1}W_{1}\sin 2\delta _{1}&-&A_{2}Z_{2}\cos 2\delta _{2}&-&B_{2}W_{2}\sin 2\delta _{2}&=-A_{0}Z_{1}\cos 2\delta _{1},\\A_{1}{\frac {V_{S1}}{V_{P1}}}W_{1}\sin 2\theta _{1}&+&B_{1}W_{1}\cos 2\delta _{1}&+&A_{2}{\frac {V_{S2}}{V_{P2}}}W_{2}\sin 2\theta _{2}&-&B_{2}W_{2}\cos 2\delta _{2}&=A_{0}{\frac {V_{S1}}{V_{P1}}}W_{1}\sin 2\theta _{1},\end{array}}\right.}
де
Z
i
=
σ
i
V
P
i
{\displaystyle Z_{i}=\sigma _{i}V_{Pi}}
,
W
i
=
σ
i
V
S
i
{\displaystyle W_{i}=\sigma _{i}V_{Si}}
,
i
=
1
,
2
{\displaystyle i=1,2}
.
Аналогічні рівняння можна вивести для падаючої поперечної хвилі.
Добутки густини на швидкість (
Z
i
{\displaystyle Z_{i}}
,
W
i
{\displaystyle W_{i}}
) називаються акустичними жорсткостями.
Нормальне падіння хвилі
ред.
Для поздовжньої хвилі при нормальному падінні (
θ
1
=
0
{\displaystyle \theta _{1}=0}
) відсутні тангенціальні напруження і зміщення. Тому
B
1
=
B
2
=
0
{\displaystyle B_{1}=B_{2}=0}
, і рівняння Цьопріца набувають вигляду:
{
A
1
+
A
2
=
A
0
,
Z
1
A
1
−
Z
2
A
2
=
−
Z
1
A
0
.
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrr}A_{1}&+&A_{2}=&A_{0},\\Z_{1}A_{1}&-&Z_{2}A_{2}=&-Z_{1}A_{0}.\end{array}}\right.}
Розв'язком цих рівнянь відносно коефіцієнтів відбиття (R ) та проходження (T ) є
A
1
A
0
=
R
P
P
(
0
)
=
Z
2
−
Z
1
Z
2
+
Z
1
{\displaystyle {\frac {A_{1}}{A_{0}}}=R_{PP}(0)={\frac {Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}}}}
,
A
2
A
0
=
T
P
P
(
0
)
=
2
Z
1
Z
2
+
Z
1
{\displaystyle {\frac {A_{2}}{A_{0}}}=T_{PP}(0)={\frac {2Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}}}}
.
Наближення
ред.
Рівняння Цьопріца є достатньо складними, тому часто використовують їх наближені розв'язки у вигляді коефіцієнтів відбиття і проходження як функцій від кута падіння
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}}
.
Наближення Акі-Річардса[2]
ред.
Наближення Акі-Річардса є важливою лінійною апроксимацією рівнянь Цьопріца, яке є справедливим для кутів аж до 40°.
Коефіцієнт відбиття, падаюча і відбита хвиля є поздовжніми:
A
1
A
0
=
R
P
P
(
θ
1
)
=
1
2
Δ
σ
σ
−
2
V
S
2
V
P
1
2
Δ
σ
σ
sin
2
θ
1
+
1
2
Δ
V
P
V
P
1
cos
2
θ
−
4
V
S
2
V
P
1
2
Δ
V
S
V
S
sin
2
θ
1
{\displaystyle {\frac {A_{1}}{A_{0}}}=R_{PP}(\theta _{1})={\frac {1}{2}}{\frac {\Delta \sigma }{\sigma }}-2{\frac {V_{S}^{2}}{V_{P1}^{2}}}{\frac {\Delta \sigma }{\sigma }}\sin ^{2}\theta _{1}+{\frac {1}{2}}{\frac {\Delta V_{P}}{V_{P}}}{\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}-4{\frac {V_{S}^{2}}{V_{P1}^{2}}}{\frac {\Delta V_{S}}{V_{S}}}\sin ^{2}\theta _{1}}
,
Коефіцієнт проходження, падаюча і відбита хвиля є поздовжніми:
A
2
A
0
=
T
P
P
(
θ
1
)
=
1
−
1
2
Δ
σ
σ
+
(
1
2
cos
2
θ
−
1
)
Δ
V
P
V
P
{\displaystyle {\frac {A_{2}}{A_{0}}}=T_{PP}(\theta _{1})=1-{\frac {1}{2}}{\frac {\Delta \sigma }{\sigma }}+\left({\frac {1}{2\cos ^{2}\theta }}-1\right){\frac {\Delta V_{P}}{V_{P}}}}
,
Коефіцієнт відбиття, падаюча хвиля поздовжня, відбита — поперечна:
B
1
A
0
=
R
P
S
(
θ
1
)
=
−
V
P
2
V
P
1
sin
θ
1
cos
δ
[
(
1
−
2
V
S
2
V
P
1
2
sin
2
θ
1
+
2
V
S
V
P
cos
θ
cos
δ
)
Δ
σ
σ
−
(
4
V
S
2
V
P
1
2
sin
2
θ
1
−
4
V
S
V
P
cos
θ
cos
δ
)
Δ
V
S
V
S
]
{\displaystyle {\frac {B_{1}}{A_{0}}}=R_{PS}(\theta _{1})=-{\frac {V_{P}}{2V_{P_{1}}}}{\frac {\sin \theta _{1}}{\cos \delta }}\left[\left(1-{\frac {2V_{S}^{2}}{V_{P_{1}}^{2}}}\sin ^{2}\theta _{1}+{\frac {2V_{S}}{V_{P}}}\cos \theta \cos \delta \right){\frac {\Delta \sigma }{\sigma }}-\left({\frac {4V_{S}^{2}}{V_{P_{1}}^{2}}}\sin ^{2}\theta _{1}-{\frac {4V_{S}}{V_{P}}}\cos \theta \cos \delta \right){\frac {\Delta V_{S}}{V_{S}}}\right]}
,
Коефіцієнт проходження, падаюча хвиля поздовжня, відбита — поперечна:
B
2
A
0
=
T
P
S
(
θ
1
)
=
V
P
2
V
P
1
sin
θ
1
cos
δ
[
(
1
−
2
V
S
2
V
P
1
2
sin
2
θ
1
−
2
V
S
V
P
cos
θ
cos
δ
)
Δ
σ
σ
−
(
4
V
S
2
V
P
1
2
sin
2
θ
1
+
4
V
S
V
P
cos
θ
cos
δ
)
Δ
V
S
V
S
]
{\displaystyle {\frac {B_{2}}{A_{0}}}=T_{PS}(\theta _{1})={\frac {V_{P}}{2V_{P_{1}}}}{\frac {\sin \theta _{1}}{\cos \delta }}\left[\left(1-{\frac {2V_{S}^{2}}{V_{P_{1}}^{2}}}\sin ^{2}\theta _{1}-{\frac {2V_{S}}{V_{P}}}\cos \theta \cos \delta \right){\frac {\Delta \sigma }{\sigma }}-\left({\frac {4V_{S}^{2}}{V_{P_{1}}^{2}}}\sin ^{2}\theta _{1}+{\frac {4V_{S}}{V_{P}}}\cos \theta \cos \delta \right){\frac {\Delta V_{S}}{V_{S}}}\right]}
,
де
Δ
σ
=
σ
2
−
σ
1
,
σ
=
1
2
(
σ
2
+
σ
1
)
,
Δ
V
P
=
V
P
2
−
V
P
1
,
V
P
=
1
2
(
V
P
2
+
V
P
1
)
,
{\displaystyle \Delta \sigma =\sigma _{2}-\sigma _{1},\sigma ={\frac {1}{2}}(\sigma _{2}+\sigma _{1}),\Delta V_{P}=V_{P2}-V_{P1},V_{P}={\frac {1}{2}}(V_{P2}+V_{P1}),}
,
Δ
V
S
=
V
S
2
−
V
S
1
,
V
S
=
1
2
(
V
S
2
+
V
S
1
)
,
θ
=
1
2
(
θ
2
+
θ
1
)
,
δ
=
1
2
(
δ
2
+
δ
1
)
{\displaystyle \Delta V_{S}=V_{S2}-V_{S1},V_{S}={\frac {1}{2}}(V_{S2}+V_{S1}),\theta ={\frac {1}{2}}(\theta _{2}+\theta _{1}),\delta ={\frac {1}{2}}(\delta _{2}+\delta _{1})}
.
Для слабо-контрастних відбиваючих границь і малих кутів
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}}
справедливими є наступні наближені формули:
R
P
P
(
θ
1
)
=
1
2
(
Δ
V
P
V
P
+
Δ
σ
σ
)
+
1
2
[
Δ
V
P
V
P
−
4
γ
2
(
Δ
σ
σ
+
2
Δ
V
S
V
S
)
]
θ
1
2
{\displaystyle R_{PP}(\theta _{1})={\frac {1}{2}}\left({\frac {\Delta V_{P}}{V_{P}}}+{\frac {\Delta \sigma }{\sigma }}\right)+{\frac {1}{2}}\left[{\frac {\Delta V_{P}}{V_{P}}}-4\gamma ^{2}\left({\frac {\Delta \sigma }{\sigma }}+2{\frac {\Delta V_{S}}{V_{S}}}\right)\right]\theta _{1}^{2}}
,
R
P
S
(
θ
1
)
=
−
1
2
(
Δ
σ
σ
)
+
2
γ
[
Δ
σ
σ
+
2
Δ
V
S
V
S
]
θ
1
{\displaystyle R_{PS}(\theta _{1})=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Delta \sigma }{\sigma }}\right)+2\gamma \left[{\frac {\Delta \sigma }{\sigma }}+2{\frac {\Delta V_{S}}{V_{S}}}\right]\theta _{1}}
,
де
γ
=
V
S
V
P
{\displaystyle \gamma ={\frac {V_{S}}{V_{P}}}}
.
Наближення Шуей[5]
ред.
Тричленне рівняння Шуей для кутів
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}}
до 30–40° може бути записане у вигляді:
A
1
A
0
=
R
P
P
(
θ
1
)
=
R
P
P
(
0
)
+
G
sin
2
θ
1
+
F
(
tg
2
θ
1
−
sin
2
θ
1
)
{\displaystyle {\frac {A_{1}}{A_{0}}}=R_{PP}(\theta _{1})=R_{PP}(0)+G\sin ^{2}\theta _{1}+F\left(\operatorname {tg} ^{2}\theta _{1}-\sin ^{2}\theta _{1}\right)}
,
де
R
P
P
(
0
)
=
1
2
(
Δ
V
P
V
P
+
Δ
σ
σ
)
{\displaystyle R_{PP}(0)={\frac {1}{2}}\left({\frac {\Delta V_{P}}{V_{P}}}+{\frac {\Delta \sigma }{\sigma }}\right)}
,
G
=
1
2
Δ
V
P
V
P
−
2
V
S
2
V
P
2
(
Δ
σ
σ
+
2
Δ
V
S
V
S
)
{\displaystyle G={\frac {1}{2}}{\frac {\Delta V_{P}}{V_{P}}}-2{\frac {V_{S}^{2}}{V_{P}^{2}}}\left({\frac {\Delta \sigma }{\sigma }}+2{\frac {\Delta V_{S}}{V_{S}}}\right)}
,
F
=
1
2
Δ
V
P
V
P
{\displaystyle F={\frac {1}{2}}{\frac {\Delta V_{P}}{V_{P}}}}
.
В цьому рівнянні перший доданок є коефіцієнтом відбиття при нормальному падінні (
θ
1
=
0
{\displaystyle \theta _{1}=0}
), другий характеризує коефіцієнт відбиття на проміжних кутах, а третій описує підхід до критичного кута.
Для кутів
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}}
до 30° можна використовувати двочленне рівняння Шуей:
R
P
P
(
θ
1
)
≈
R
P
P
(
0
)
+
G
sin
2
θ
1
{\displaystyle R_{PP}(\theta _{1})\approx R_{PP}(0)+G\sin ^{2}\theta _{1}}
.
Див. також
ред.
Примітки
ред.
↑ а б Sheriff, R. E., Geldart, L. P., (1995), 2nd Edition. Exploration Seismology. Cambridge University Press.(англ.)
↑ а б в Аки К., Ричардс П. Количественная сейсмология. М.: Мир, 1983. Т. 1.(рос.)
↑ Zoeppritz, Karl (1919). Erdbebenwellen VII. VIIb. Über Reflexion und Durchgang seismischer Wellen durch Unstetigkeitsflächen. Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 66-84.(нім.)
↑ Н. В. Шалаева. AVO-анализ: физические основы, возможности и ограничения. Геленджик. 2004.(рос.)
↑ Avesth, P, T Mukerji and G Mavko (2005). Quantitative seismic interpretation. Cambridge University Press, Cambridge, UK(англ.)