Рівняння Ланжевена

Рівняння Ланжевена — стохастичне диференціальне рівняння, що використовується в статистичній фізиці для опису процесів із випадковими силами, наприклад, броунівський рух.

Виходячи з рівняння Ланжевена, для випадкових сил із певними характеристиками можна побудувати рівняння Фоккера-Планка, які задають еволюцію функції розподілу змінної.

Броунівський рух

Перше рівняння, вивчене Полем Ланжевеном, описувало броунівський рух з постійним потенціалом, тобто прискорення $\mathbf {a}$ броунівської частинки з масою $m$, що виражається через суму сили в'язкого тертя, яка пропорційна швидкості частинки $\mathbf {v}$ за законом Стокса, шумового члена $\mathbf {\eta } (t)$ (назва, яка використовується у фізиці для позначення стохастичного процесу в диференціальному рівнянні) — за рахунок безперервних зіткнень частинки з молекулами рідини, і $\mathbf {\Phi } (\mathbf {x} )$ — систематичної сили, що виникає при внутрішньомомекулярних та міжмолекулярних взаємодіях:

$m\mathbf {a} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\mathbf {\Phi } (\mathbf {x} )-\gamma \mathbf {v} +{\boldsymbol {\eta }}(t).$

Розв'язок рівняння

Перепишемо рівняння Ланжевена без зовнішніх сил. Крім того, без втрати загальності можна розглядати тільки одну з координат.

$m{\ddot {x}}=-{\frac {1}{B}}{\dot {x}}+F(t)$

Будемо вважати, що випадкова сила задовольняє таким умовам:

$\langle F(t)\rangle =0$

$\langle F(t_{1})F(t_{2})\rangle =b\delta (t_{1}-t_{2})$

де b — деяка константа, яку ми визначимо пізніше, $\delta (t_{1}-t_{2})$ — дельта-функція Дірака. Кутовими дужками позначено усереднення за часом. Це т.зв. дельта-корельована випадкова величина: її автокореляційна функція дорівнює дельта-функції. Такий випадковий процес також називається білим шумом.

Перепишемо рівняння в термінах швидкості:

${\dot {v}}=-\lambda v+{\frac {F}{m}}$

де $\lambda ={\frac {1}{mB}}$

Нехай в початковий момент часу $t=t_{0}$ частинка мала швидкість $v_{0}$. Будемо шукати розв'язки у вигляді: $v(t)=u(t)\exp(-\lambda t)$, тоді для $u(t)$ отримаємо наступне диференціальне рівняння:

${\dot {u}}(t)=\exp(\lambda t){\frac {F}{m}}$

У підсумку, отримуємо шуканий вираз для швидкості:

$v(t)=v_{0}\exp(-\lambda t)+\exp(-\lambda t)\int \limits _{0}^{t}{\frac {F(\tau )}{m}}\exp(\lambda \tau )d\tau$

З нього випливають два важливих співвідношення:

1. $\langle v(t)\rangle =v_{0}\exp(-\lambda t)$. Тобто середнє значення швидкості прямує до нуля з плином часу.
2. $\langle v^{2}(t)\rangle =v_{0}^{2}\exp(-2\lambda t)+{\frac {b}{2\lambda m^{2}}}\left(1-\exp(-2\lambda t)\right)$.

Середній квадрат швидкості з часом прямує до значення ${\frac {b}{2\lambda m^{2}}}$.

Якщо припустити, що кінетична енергія частинки з часом прямує до теплової, то можна визначити значення коефіцієнта $b$:

$b=2{\frac {k_{B}T}{B}}$

Перетворенням початкового виразу можна отримати, що:

${\frac {d\langle x^{2}(t)\rangle }{dt}}={\frac {2}{\lambda }}\langle \left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\rangle$

$\langle \mathbf {x} ^{2}\rangle =6k_{B}TBt$

Звідси випливає співвідношення Ейнштейна:

$D=k_{B}TB$

де B — рухливість броунівської частинки, а $D$ - коефіцієнт дифузії.

Посилання

• Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М. : Мир, 1986. — 528 с.
• ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М. : Высшая школа, 1990. — 376 с.
• Хакен Г. Синергетика. — М. : Мир, 1980. — 406 с.
• Coffey W. T., Kalmykov Yu. P., Waldron J. T. The Langevin Equation: With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering. — World Scientific, 1996.
• Reif F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. — N. Y. : McGraw-Hill, 1965.