Рівняння Ланжевена

Рівняння Ланжевенастохастичне диференціальне рівняння, що використовується в статистичній фізиці для опису процесів із випадковими силами, наприклад, броунівський рух.

Виходячи з рівняння Ланжевена, для випадкових сил із певними характеристиками можна побудувати рівняння Фоккера-Планка, які задають еволюцію функції розподілу змінної.

Броунівський рухРедагувати

Перше рівняння, вивчене Полем Ланжевеном, описувало броунівський рух з постійним потенціалом, тобто прискорення   броунівської частинки з масою  , що виражається через суму сили в'язкого тертя, яка пропорційна швидкості частинки   за законом Стокса, шумового члена   (назва, яка використовується у фізиці для позначення стохастичного процесу в диференціальному рівнянні) — за рахунок безперервних зіткнень частинки з молекулами рідини, і   — систематичної сили, що виникає при внутрішньомомекулярних та міжмолекулярних взаємодіях:

 

Розв'язок рівнянняРедагувати

Перепишемо рівняння Ланжевена без зовнішніх сил. Крім того, без втрати загальності можна розглядати тільки одну з координат.

 

Будемо вважати, що випадкова сила задовольняє таким умовам:

 
 

де b — деяка константа, яку ми визначимо пізніше,  дельта-функція Дірака. Кутовими дужками позначено усереднення за часом. Це т.зв. дельта-корельована випадкова величина: її автокореляційна функція дорівнює дельта-функції. Такий випадковий процес також називається білим шумом.

Перепишемо рівняння в термінах швидкості:

 

де  

Нехай в початковий момент часу   частинка мала швидкість  . Будемо шукати розв'язки у вигляді:  , тоді для   отримаємо наступне диференціальне рівняння:

 

У підсумку, отримуємо шуканий вираз для швидкості:

 

З нього випливають два важливих співвідношення:

  1.  . Тобто середнє значення швидкості прямує до нуля з плином часу.
  2.  .

Середній квадрат швидкості з часом прямує до значення  .

Якщо припустити, що кінетична енергія частинки з часом прямує до теплової, то можна визначити значення коефіцієнта  :

 

Перетворенням початкового виразу можна отримати, що:

 
 

Звідси випливає співвідношення Ейнштейна:

 

де B — рухливість броунівської частинки, а   - коефіцієнт дифузії.

ПосиланняРедагувати

  • Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М. : Мир, 1986. — 528 с.
  • ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М. : Высшая школа, 1990. — 376 с.
  • Хакен Г. Синергетика. — М. : Мир, 1980. — 406 с.
  • Coffey W. T., Kalmykov Yu. P., Waldron J. T. The Langevin Equation: With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering. — World Scientific, 1996.
  • Reif F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. — N. Y. : McGraw-Hill, 1965.