Розширена невизначеність

Визначення

Розширена невизначеність (англ. expanded uncertainty) — величина, що визначає інтервал навколо результату вимірювання, в межах якого ймовірно знаходиться більша частина розподілу значень, які обґрунтовано можуть бути приписані вимірюваній величині.

Таким чином, розширена невизначеність $U\,$ визначає границі «інтервалу невизначеності» навколо результату вимірювання $y\,$. Права границя цього інтервалу — $y+U\,$, ліва — $y-U\,$. Величина розширеної невизначеності, а отже і ширина цього інтервалу, залежить від вибраного під час розрахунку рівня довіри $p\,$, який менший або дорівнює одиниці.

Існує два рівноправних трактування інтервалу невизначеності. З одного боку, цей інтервал можна трактувати як такий, що містить у собі більшість тих значень, котрі можуть розглядатись як можливі результати вимірювання. Звичайно, з точки зору людини, що провела вимірювання, найкращим значенням є $y\,$. Але насправді, повторивши вимірювання, можна отримати інше значення. Таким чином, є ціла сукупність значень, які можуть бути результатами вимірювання за даною вимірювальною процедурою (методикою). Інтервал невизначеності якраз і обмежує $p\,$ — долю значень, які можуть бути результатами вимірювання.

Інше трактування спирається на поняття істинного значення вимірюваної фізичної величини. Вказаний інтервал можна розглядати як такий, що з ймовірністю $p\,$ містить у собі істинне значення фізичної величини. Зрозуміло, що точна його (істинного значення) локалізація неможлива, оскільки це можливо лише за ідеального вимірювання, яке не може бути реалізовано в силу певних, як технічних, так і економічних та фізичних обмежень. Однак його місцеположення з достатньо високою, прийнятною для практичного використання ймовірністю, можна обмежити границями інтервалу невизначеності. Звичайно, залишається ймовірність 1$-p\,$, що істинне значення за його межами.

Значення рівня довіри повинно бути достатньо високим, щоб була висока впевненість в тому, що інтервал невизначеності накриє істинне значення. Водночас при підвищенні $p\,$ ширина інтервалу зростає, що утруднює його практичне використання при прийнятті рішень за результатом вимірювання. Тому доводиться вибирати в певному розумінні «компромісне» значення рівня довіри. В більшості випадків значення $p\,$ приймають рівним 0,95. Це означатиме, що інтервал невизначеності включатиме 95% із усіх значень, які можуть бути результатом вимірювання, або з ймовірністю 0,95 накриватиме істинне значення вимірюваної фізичної величини. Разом з тим, під час особливо відповідальних вимірювань, які мають великий вплив на життя чи здоров'я людей, значення рівня довіри може бути 0,99 або і вище.

Оцінювання розширеної невизначеності

Розширена невизначеність математично виражається як добуток сумарної стандартної невизначеності на коефіцієнт охоплення

$U=k(p)u(y)\,,$

де $k(p)\,$ — коефіцієнт охоплення, значення якого залежить від $p\,$; $u(y)\,$ — сумарна стандартна невизначеність.

Коефіцієнт охоплення іноді ще називають коефіцієнтом покриття. Для від $p=\,$0,95 його значення наближено дорівнює 2.

Точніше значення коефіцієнту охоплення може бути визначене за відомого закону розподілу результату вимірювання $y\,$. Тоді за значення $k(p)\,$ приймається значення відповідної $p\,$-процентної точки розподілу. Так, наприклад, у випадку нормального розподілу 95-процентна точка розподілу (квантіль нормального розподілу) дорівнює 1,96, за рівномірного розподілу — 1,65. Значення коефіцієнтів охоплення як для вказаних розподілів, так і для інших можна знайти з допомогою відповідних статистичних таблиць у довідниках.

Розподіл вихідної величини $y\,$ можна просто ідентифікувати у випадку, коли вона (вихідна величина) є лінійною комбінацією вхідних величин. Якщо внески всіх вхідних величин в невизначеність співставні, тобто немає переважного внеску однієї з цих величин, то відповідно до центральної граничної теореми теорії ймовірності розподіл вихідної величини буде близьким до нормального.

Для функціональних залежностей, які не є лінійними, але можуть бути лінеаризовані шляхом розкладу в ряд Тейлора, розширену невизначеність можна оцінити за формулою

$U=t_{s}(p,\nu )u(y)\,,$

де $t_{s}(p,\nu )\,$ — коефіцієнт Ст'юдента, значення якого знаходять за таблицями за значенням рівня довіри $p\,$ та числом ефективних ступенів свободи $\nu \,$.

Число ступенів свободи вхідних величин приймають рівним:

• $n\,$– 1, якщо стандартна невизначеність оцінювалася за типом А. Тут $n\,$ — число результатів повторних спостережень.
• $\infty \,$ (нескінченність), якщо стандартна невизначеність оцінювалася за типом В.

Тоді ефективне число ступенів свободи вихідної величини можна оцінити за формулою Велча — Сатерсвейта:

$\nu ={\frac {u^{4}(y)}{\sum _{k=1}^{N}c_{k}^{4}{\frac {u^{4}(x_{k})}{\nu _{k}}}}}\,,$

де $c_{k}\,$, $\nu _{k}\,$ — коефіцієнт чутливості та число ступенів свободи $k$-ї вхідної величини.

Зрозуміло, що у випадку, коли всі вхідні величини мають однакове число ступенів свободи, ефективне число ступенів свободи вихідної величини буде рівне тому ж числу.

Разом з тим, часто зустрічаються істотно нелінійні залежності, що досить утруднює розрахунок розширеної невизначеності. У такому разі вдаються до імітаційного моделювання за методом Монте-Карло. Цей метод дозволяє одержати не лише оцінку сумарної стандартної невизначеності, але й за «зімітованими» значеннями вихідної величини з'ясувати вид її закону розподілу.

Див. також

• Невизначеність вимірювання
• Стандартна невизначеність
• Сумарна стандартна невизначеність