Проблема Ленглі

Проблема Ленглі або додаткові кути Ленглі (англ. Langley's problem або Langley's adventitious angles) — задача елементарної геометрії, опублікована Едвардом Манном Ленглі в Mathematical Gazette у 1922 році. Відтоді вона стала популярною і широко використовувалася у збірниках задач і підручниках з математики. Математик Росс Хонсбергер описав ці задачі як «постійні улюбленці» у своїй книзі "Математичні коштовності ".

Завдання

Точне завдання різниться в літературі; іноді воно встановлюється з використанням чотирикутника замість трикутника або змінюється інформація про кут. Однак початкова проблема Ленглі звучала так:

$\triangle ABC$ — рівнобедрений трикутник, кути $B$ і $C$ якого рівні $80^{\circ }$. $F$ є точкою на стороні $AB$ так що $\angle ACF=30^{\circ }$ і $E$ є точкою на стороні $AC$ так що $\angle ABE=20^{\circ }$ .
Доведіть що $\angle BEF=30^{\circ }$

Допоміжні лінії пунктирні, усі червоні лінії мають однакову довжину

Публікація Ленглі ще тоді призвела до великої кількості листів до редакції з рішеннями проблеми. Веб-сайт Cut The Knot математика Олександра Богомольного (1948—2018) описує дванадцять різних доказів вихідної проблеми. Наступне рішення, яке не потребує жодних тригонометричних допоміжних засобів, базується на презентації Генріха Хемме та сходить до Дж. В. Мерсера, який описав його в листі до редактора Mathematical Gazette у 1923 році. Він вводить дві допоміжні лінії, а потім використовує властивості рівнобедреного та рівностороннього трикутників для обчислення необхідних допоміжних кутів.

З точки $B$ відкладаємо кут $20^{\circ }$ від сторони $BC$ , промінь перетинає $AC$ в точці $G$ потім проводимо відрізок між точками $G$ і $F$ . Використовуючи формули суми кутів у трикутнику можна обчислити такі кути:

$\angle BGC=180^{\circ }-20^{\circ }-80^{\circ }=80^{\circ }$

$\angle BCF=80^{\circ }-30^{\circ }=50^{\circ }$

$\angle BFC=180^{\circ }-80^{\circ }-50^{\circ }=50^{\circ }$

$\angle GBE=80^{\circ }-20^{\circ }-20^{\circ }=40^{\circ }$

$\angle BGE=180^{\circ }-80^{\circ }=100^{\circ }$

$\angle BEC=180^{\circ }-80^{\circ }-60^{\circ }=40^{\circ }$

Оскільки кути при основі однакові, то трикутники $\triangle BCG$, $\triangle BCF$ і $\triangle BGF$ є рівнобедреними і, отже, сторони $BC$, $BG$, $GE$ і $BF$ однакової довжини. Сюди також входить трикутник $\triangle BGF$ також рівнобедрений але кут $\angle BGF=80^{\circ }-20^{\circ }=60^{\circ }$ отже він — рівносторонній . Так само і відрізки $GF$ і $GE$ однакової довжини і, отже, трикутник $\triangle GEF$ також рівнобедрений. Отже, слідує:

$\angle FGE=100^{\circ }-60^{\circ }=40^{\circ }$

$\angle FEG={\frac {180^{\circ }-40^{\circ }}{2}}=70^{\circ }$

$\angle BEF=70^{\circ }-40^{\circ }=30^{\circ }\quad \square$

Література

• Генріх Хемме : Відьма 1х1. 100 математичних головоломок з детальними рішеннями . Anaconda Verlag, 2020, стор. 43, 118—120
• Росс Хонсбергер : Математичні коштовності . Vieweg, 1982, ISBN 9783322872654, стор. 14–15
• DAQ: останні слова про випадкові кути . В: Математичний вісник . Том 62, № 421 (жовтень, 1978), стор. 174—183 (JSTOR)
• Колін Тріпп: випадкові кути . У: The Mathematical Gazette, том 59, № 408 (червень, 1975), стор. 98–106 (JSTOR)
• HSM Coxeter, SL Greitzer: Revisited Geometry . MAA, 1967, стор. 26,159
• Девід Дарлінг : Універсальна книга математики: від абракадабри до парадоксів Зенона . John Wiley & Sons, 2004, ISBN 9780471270478, стор. 180
• Едвард Манн Ленглі : 644. Проблема . У: The Mathematical Gazette, том 11, № 160 (жовтень, 1922), стор. 173 (JSTOR)
• Проблеми та рішення . У: The Mathematical Gazette, том 11, № 164 (травень, 1923), стор. 321—323 (JSTOR)

Посилання

• Трикутник 80-80-20 на cut-the-knot.org
• Angular Fear на mathpages.com
• Tom Rike: An Intriguing Geometry Problem (архів), Berkeley Math Circle, 5 травня 2002 року