GorlovaOlya

Поняття рангу матриці. Теорема про ранг матриці.

Розглянемо довільну матрицю.

Кожний стовпець матриці можна розглядати як упорядковану -ку чисел, тобто матриця - це система п-векторів -вимірного арифметичного простору. Використовуючи цю інтерпретацію і означення рангу системи векторів приходимо до доцільності такого означення.
Означення. Рангом матриці називається кількість стовпців, що входить до максимальної лінійно незалежної підсистеми стовпців матриць. Або в скороченому вигляді можна дати таке формулювання.
'Означення. Рангом матриці називається максимальна кількість лінійно-незалежних стовпців.
Теорема про ранг матриці. Найвищий порядок мінорів матриці, що не дорівнюють нулю, дорівнює рангу матриці.
Доведення. Нехай найвищий порядок мінорів, що не дорівнюють нулю є число р. Це означає, що в матриці А є мінор р-того порядку, не рівний нулю. Мінори р + 1 і більш високих порядків дорівнюють нулю. Для визначеності припустимо, що мінор р-того порядку не рівний нулю знаходиться в лівому верхньому куту.

Треба довести, що ранг матриці A дорівнює р. Для цього треба довести два факти: в матриці А є р-лінійно-незалежних стовпців; всі інші стовпці через них лінійно виражаються. 1) Доведемо, що лінійно незалежними (за нашим припущенням) є перші р стовпців матриці. Припустимо супротивне, що перші р стовпців матриці лінійно залежні. Тоді з означення лінійної залежності випливає, що існують числа k₁, k₂,..., k_p , що виконується рівність:

k1α1+kiαi+...+kpαp=0

Розглянемо цю рівність покомпонентно: І компонента - k₁a₁₁+...+k_ia_1i+...+k_pa_1p=0 р компонента - k₁a_p1+...+k_ia_pi+...+k_pa_pp=0 ……………………………………………… s компонента - k₁a_s1+...+k_ia_si+...+k_pa_sp=0 З перших р рівностей випливає що стовпці мінора М - лінійно залежні. Доведемо, що тоді мінор М дорівнює нулю. Розглянемо два випадки. а) р = 1 тобто М = - лінійно залежний, а звідси випливає що a₁₁ =0 => M=0. б) р≥2 В цьому випадку лінійна залежність означає, що в мінорі М існує стовпець, що є лінійною комбінацією інших стовпців, а тоді за властивістю визначників мінор М = 0 Отже, ми прийшли до суперечності умові. Отже, перші р стовпців матриці А- лінійно незалежні. Для доведення другого факту побудуємо визначник.

Доведемо, що при всіх таких і та к визначник Для доведення розглянемо два випадки: 1) 1<=i<=p . В цьому випадку d=0 як визначник з двома рівними рядками. 2) p+1<=i<=S . В цьому випадку d=0 , бо визначник d стає мінором р + 1 порядку матриці А, а тоді за умовою, він дорівнює нулю. Розкладемо визначник за останнім рядком: a_i1A_p+11+a_i2A_p+12+...+a_ipA_p+1p+a_ikM=0 . Розв'яжемо цю рівність відносно a_ik ,

.

Надамо всі значення

Це означає, що к- тий стовпець матриці А є лінійною комбінацією перших р-стовпців. Оскільки к набуває значень , то ми довели, що всі стовпці, починаючи з р + 1 є лінійними комбінаціями перших р- стовпців. Що і треба було довести Таким чином за означенням ранг дорівнює р.

Ф.С.Р.

Означення. Максимальна лінійно незалежна система розв’язків однорідної системи рівнянь називається її фундаментальною системою. З цього означення випливає, що фундаментальна система розв’язків задовольняє дві умови: розв’язки, що входять до фундаментальної системи – лінійно незалежні; будь-який інший розв’язок є лінійною комбінацією цих розв’язків. З’ясуємо скільки розв’язків входить до фундаментальної системи. Розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь можна розглядати як вектор n-вимірного арифметичного простору. Раніше було доведено, що в n-вимірному арифметичному просторі найбільша кількість лінійно-незалежних векторів містить n-векторів. Отже маємо попередній висновок: фундаментальна система розв’язків містить не більше n розв’язків. Більш точну інформацію містить наступна теорема.
Теорема. (про фундаментальну систему розв’язків) Якщо ранг p матриці A менше кількості невідомих n, то однорідна система рівнянь має фундаментальну систему розв’язків, причому кількість розв’язків, що входить до фундаментальної системи дорівнює n-p.
Доведення. Нехай задано однорідну систему рівнянь

                                              (1)

Нехай ранг матриці

                                                 = p.

Тоді кількість фундаментальних розв’язків (n-p). З того , що ранг rA=p<n випливає , що система (1) невизначена, тобто має безліч розв’язків. Запишимо всі розв’язки в вигляді (**)

                                  ,              			   (**)

(зробивши попередньо для системи (1) припущення, при яких було отримано (**)). Виберемо з цієї нескінченної множини розв’язків, (n-р) розв’язков за таким правилом : 1. Надамо вільним невідомим значення Підставимо ці значення в формулу (**) , отримаємо значення для

 .

2. Надамо вільним невідомим другий раз інші значення . Підставимо в (**), отримаємо другий розв’язок.

   ….

Надамо вільним невідомим (n-p) раз значення . Підставимо їх в (**), отримаємо

Отже ми отримали систему розв’язків: 1-ий розв’язок ( ) 2-ий розв’язок ( ) (2) … ( ) розв’язок ( ) Зауважимо, що вільні невідомі в розв’язках (2) вибирались будь-як, але за однією умовою

                                                                                         (3)

Доведемо, що система розв’язків (2) є фундаментальною. Для цього ми повинні довести, що : Розв’язки (2) лінійно незалежні. Приєднання до (2) будь-якого розв’язку системи приводить до лінійно залежної системи. Для доведення першого пункту розглянемо матрицю К :

1. Доведемо rK=n-p. Це випливає з того що в цій матриці за умовою (3) є мінор порядку (n – p), що не дорівнює нулю. Мінорів більш високого порядку не можна скласти. Тоді з теореми про ранг матриці rK = n – p. З того, що rK = n – p , використовуючи другий наслідок з теореми про ранг випливає, що в матриці К є лише (n – p) лінійно незалежних рядків. А в рядках записано розв’язки (2), тобто вони лінійно незалежні. 2. Для доведення другого пункту розглянемо довільний розв’язок системи (1) (m_1,m_2,…,m_p,m_(p+1),…,m_n). Приєднаємо його до системи розв’язків (2) і доведемо, що отримана система розв’язків вже лінійно залежна. Для цього утворимо матрицю  :

                       .

Доведемо, що ранг і цієї матриці дорівнює r = n – p. Доведемо, що в цій матриці лише (n – p) лінійно незалежних стовпців. Саме з цього тоді випливатиме, що r = n – p. З того, що мінор в правому верхньому куту не дорівнює нулю, випливає, що останнні ( n – p ) стовпців матриці лінійно незалежні. Доведення цього факту таке ж саме як і в першій частині про ранг. Доведемо, що перший, другий, і т.д. р-ий стовпчик матриці є лінійною комбінацією останніх ( n – p ) стовпців. Це твердження випливає з формули (**). Насправді, в першому стовпчику матриці записано значення для x1 , в другому для x2 , і т.д., в n-ому стовпчику – для xn. З формули ж (**) випливає, що x1,…, xp є лінійною комбінацією xp+1,…, xn. Тобто в матриці – лінійно незалежними є лише останні (n-p) стовпців. Таким чином максимальна лінійно незалежна система розв’язків (ФСР) складається з (n-p) розв’язків. Теорему доведено.

==Лема до теореми Крамера. ==Нехай задано визначник d n-го порядку. Сума добутків елементів і-го рядка на алгебраїчні доповнення до відповідних елементів j-го рядка дорівнює 0.

==Теорема Лапласа.==Якщо в визначнику d виділити k рядків, то визначник d дорівнює сумі добутків всіляких мінорів k-го порядку, розташованих в цих k рядках, на їх алгебраїчні доповнення.

Підстановка n-го степеня

Означення. Підстановкою n-го степеня називається бієктивне відображення n-елементної множини у себе.
Означення. Підстановка називається парною, якщо парності верхньої і нижньої перестановок однакові, тобто обидві перестановки або парні або непарні.
Означення. Підстановка називається парною, якщо загальна кількість інверсій верхньої і нижньої перестановок є парним числом, в супротивному разі перестановка непарна.
Теорема. При n≥2 кількість парних підстановок дорівнює кількості непарних підстановок, тобто дорівнює n!/2.
Лема (про добуток мінору на його алгебраїчне доповнення ). Добуток мінору М на його алгебраїчне доповнення А складається з деяких членів визначника d, причому ці члени входять в М∙А і в d з одними і тими ж знаками.

Теорема Крамера

Теорема Крамера. Нехай задано систему n алгебраїчних рівнянь з n невідомими, визначник якої не нульовий. Тоді невідома xk дорівнює дробу, знаменником якого є визначник системи, а чисельником також є визначник, який можна отримати з визначника системи заміною k-го стовпця стовпцем вільних членів.