Обговорення:Інтеграл

Ця стаття є частиною Проєкту:Математика (рівень: 3, важливість: найвища)
	Мета проєкту — створення якісних та інформативних статей на теми, пов'язані з Математикою. Ви можете покращити цю статтю, відредагувавши її, а на сторінці проєкту вказано, чим ще можна допомогти. Учасники проєкту будуть вам вдячні.
III (у розвитку)	Ця стаття за шкалою оцінок статей Проєкту:Математика має рівень «стаття у розвитку».
Найвища	Важливість цієї статті для проєкту Математика: «найвища»
	Чим допомогти: Статті до створення та доопрацювання

Визначений інтерграл — адитивний монотонний нормований функціонал, заданий на множині пар, першого компонента яких є інтегрованою функціэю або функціоналом, а друга — це область у множині задання цієї функції (функціоналу).

пояснюю на пальцях.

• інтеграл - це функціонал: I(D,f), тобто якщо підставити конкретну область D і функцію f, отримаємо число.

Examples

$~\mathrm {dom(f)} \times \mathrm {cod(f)} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ \{a,b\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ a<b\ \land \ [a,b]\subseteq \mathrm {dom(f)} \ \to \ (\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x)\in \mathbb {R}$

$~\mathrm {f} :X\mapsto Y\ \land \ D\subseteq X\ \to \ (\int _{x\ \in \ D}f(x)\mathrm {d} x)\in \mathbb {R}$

• далі, він, функціонал, лінійний по функціям: I(D,af+bg) = aI(D,f)+bI(D,g), тут a,b - числа, f,g - функції

Examples

$~\{\mathrm {dom(f_{1})} \times \mathrm {cod(f_{1})} ,\ \mathrm {dom(f_{2})} \times \mathrm {cod(f_{2})} \}\subseteq {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{2})\ \land \ \{a,b,c_{1},c_{2}\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ a<b\ \ \land$

$~[a,b]\subseteq \mathrm {dom(f_{1})} \ \cap \ \mathrm {dom(f_{2})} \to \int _{a}^{b}(c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x))\mathrm {d} x=c_{1}\int _{a}^{b}f_{1}(x)\mathrm {d} x\ +\ c_{2}\int _{a}^{b}f_{2}(x)\mathrm {d} x$

$~\mathrm {f_{1}} :X_{1}\mapsto Y\ \land \ \mathrm {f_{2}} :X_{2}\mapsto Y\ \land \ D\subseteq X_{1}\cap X_{2}\ \land \ \{c_{1},c_{2}\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ \forall x\ (x\in D\to c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x)\in Y)$

$~\to \ \ \int _{x\ \in \ D}(c_{1}f_{1}(x)+c_{2}f_{2}(x))\mathrm {d} x=c_{1}\int _{x\ \in \ D}f_{1}(x)\mathrm {d} x\ +\ c_{2}\int _{x\ \in \ D}f_{2}(x)\mathrm {d} x$

• він адитивний по області: якщо області D і E не перетинаються, то I(D u E, f) = I(D,f) + I(E,f), тут D u E означає об'єднання

Examples

$~\mathrm {dom(f)} \times \mathrm {cod(f)} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \land \ \{a,b,c,d\}\subseteq \mathbb {R} \ \land \ a<b<c<d\ \land \ [a,b]\ \cup \ [c,d]\subseteq \mathrm {dom(f)}$

$~\to \ \ \int _{x\ \in \ [a,b]\ \cup \ [c,d]}f(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\ +\ \int _{c}^{d}f(x)\mathrm {d} x$

$~\mathrm {f} :X\mapsto Y\ \land \ D\cup E\subseteq X\ \land \ D\cap E=\varnothing$

$~\to \ \ \int _{x\ \in \ D\cup E}f(x)\mathrm {d} x=\int _{x\ \in \ D}f(x)\mathrm {d} x\ +\ \int _{x\ \in \ E}f(x)\mathrm {d} x$

• далі, він монотонний: якщо f>=g, тоді I(f)>=I(g), згідно порядку в числах
• і останнє, функціонал нормований: якщо міра D дорівнює 1, тоді I(D,1)=1, тут одиничка в дужках значить константну функцію 1 Краще так I(D,1)=μ(D) для тотожньо одиничної функції 1, тут μ(D) - міра області D.

в простішому випадку область D - інтервал на числовій прямій, і маємо "інтеграл Рімана".

але це дозволяє нам визначити визначений інтеграл на доволі широкому класі об'єктів, лишається визначити лише

1. часткову впорядкованість в числах
2. міру на області визначення функцій
3. поняття "інтегрована функція"

в цих трьох місцях можливий вибір, але загальної картини це не міняє

щоб не путатися, шапку краще переформулювати простіше так

Визначений інтерграл — адитивний монотонний нормований функціонал, заданий на множині пар, першого компонента яких є інтегрованою функцією, а друга — це область у множині задання цієї функції. Функціональний аналіз природнім чином розширює це визначення і на узагальнені функції.

---

і останнє, згадка контінуума в поточному варіанті абсолютно недоречна, контінуум - це характеристика потужності множини, що нам по суті до біса. Нам потрібна міра, а в голому континуумі ніякої міри нема. Та й нема в нас ніяких причин обмежуватися континуумом --Deineka 10:30, 19 червня 2009 (UTC)

про недоречність континууму згодний, про монотонність — гляньте інтеграл від косинуса Ой бачу ви пишете про монотонність по параметру функції, а не області. І все таки не займаймося ОД. --Ілля 21:15, 19 червня 2009 (UTC)

Джерела

Переглянув У. Рудин "Основы математического анализа", В.А. Зорич "Математический анализ", С.М. Никольский "Курс математического анализа", Г.М. Фихтенгольц "Курс дифференциального и интегрального исчисления", Ф.А. Медведев "Развитие понятия интеграла". Також ряд книг з функану. Термін або відсутній, або передує і вужчий за інтеграл Рімана, або вживається як синонім інтеграла Рімана (Фіхтенгольц), або просто вживається без визначення. На цьому термінологічну суперечку покидаю. --Ілля 19:34, 18 червня 2009 (UTC)

ну да, Зорич (1984) том ІІ, с.127, главка "Интеграл как линейный функционал", якраз і йдеться про функционал і його лінійність та адитивність --Deineka 11:56, 19 червня 2009 (UTC)

там ідеться про властивість інтеграла Рімана, ніякого означення визначеного інтеграла на тій сторінці немає --Ілля 21:20, 19 червня 2009 (UTC)

Визначений інтеграл - це інтегральна сума (або функціонал ) з чітко вказаною областю інтегрування. (Ну а невизначений інтеграл - це деяка функція з точністю до константи, яка дозволяє обчислювати визначений інтеграл). Так от зверніть увагу - там ідеться про інтегрування по певній області--Deineka 23:38, 19 червня 2009 (UTC)

Визначений інтеграл це не інтегральна сума, а границя усіх інтегральних сум (уже за це на мех-маті вам би знизили оцінку, якщл викладач добрий, або не зарахували взагалі - бо твердження невірне). Не всі інтеграли обчислюються за формулою Ньютона-Лейбніца --Ілля 06:51, 20 червня 2009 (UTC)

не треба плутати властивості (те що інтеграл Рімана задовільняє ваще означення) і означення. просто скажіть в якій книжці прочитати те означення яке ви написали. --Ілля 07:19, 20 червня 2009 (UTC)

IMHO Доцільно створити єдину статтю, як у en:Integral --Perohanych 12:36, 22 червня 2009 (UTC)