Нетранзитивність

властивість деяких бінарних відношень

Нетранзитивність у математиці — позначення ряду схожих властивостей бінарних відношень.

Відсутність транзитивностіРедагувати

Відношення називається транзитивним, якщо для будь-яких трійок A, B і C, таких, що пари (A, B) і (B, C) задовольняють йому, пара (A, C) також йому задовольняє. Низка авторів називають нетранзитивними відношення, що не задовольняють цій властивості, тобто відношення R, такі, що

 

Наприклад, відношення «їсти» в харчовому ланцюгу є нетранзитивним у цьому сенсі: вовки їдять оленів, олені їдять траву, але вовки не їдять траву.

АнтитранзитивністьРедагувати

Часто термін нетранзитивність використовують для позначення «сильнішої» властивості — антитранзитивності відношення[1]. Відношення R називається антитранзитивним, якщо транзитивність відсутня для будь-яких трьох елементів:

 

Наприклад, згадане вище відношення «їсти» не є антитранзитивним: люди їдять кроликів, кролики їдять моркву, але люди теж їдять моркву.

Антитранзитивне відношення — відношення «перемогти» в турнірах «на виліт»: Якщо A переміг гравця B, а B переміг гравця C, то A не грав з C, отже, не міг його перемогти.

Цикли в бінарних відношенняхРедагувати

На практиці термін нетранзитивність найчастіше вживається для опису ситуацій, коли відношення описують уподобання на парах альтернатив, порівняння яких призводить до наявності циклів: A краще ніж B, B краще ніж C, а C краще ніж A.

Відомим прикладом наявності циклів є дитяча гра «Камінь, ножиці, папір». Інші приклади — нетранзитивні кості (кубики Ефрона[2]), «Гра Пенні».

Якщо відношення уподобання антирефлексивне, наявність циклів у вподобаннях призводить до порушення транзитивності. Ця властивість не еквівалентна зазначеним вище відсутності транзитивності і антитранзитивності відношення.

Виникнення нетранзитивності уподобаньРедагувати

  • Нетранзитивність суспільних уподобань може виникати під час голосування за правилом більшості, а також за правилом Кондорсе (див. парадокс Кондорсе)[3][4].
  • У психології нетранзитивність уподобань виникає, якщо індивідуум керується декількома неузгодженими системами цінностей.
  • Аналогічним чином, нетранзитивність може виникати у споживчих уподобаннях, що призводить до відхилення поведінки споживача від економічно раціональної.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Guide to Logic, Relations II Архівна копія на сайті Wayback Machine. [недоступне посилання — історія]
  2. Математическое просвещение. Третья серия, выпуск 14. М. Издательство МЦНМО, 2010
  3. Александр Поддьяков Правило транзитивности против нетранзитивности выбора // Наука и жизнь. — 2017. — № 3. — С. 130—137
  4. Александр Поддьяков Нетранзитивность превосходства: продолжение темы // Наука и жизнь. — 2017. — № 7. — С. 112—116

ЛітератураРедагувати

  • Anand P. Foundations of Rational Choice Under Risk, Oxford, Oxford University Press. — 1993.