Нерівність Богомолова — Міаокі — Яу

Нерівність Богомолова — Міаокі — Яу — це нерівність

$c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}$

між числами Чжен компактних комплексних поверхонь загального вигляду. Головний інтерес в цій нерівності — можливість обмежити можливі топологічні типи розглянутого дійсного 4-многовида. Нерівність довели незалежно Яу і Міаокі, після того як Ван де Вен і Федір Богомолов довели слабші версії нерівності з константами 8 і 4 замість 3.

Борель і Хірцебрух показали, що нерівність не можна поліпшити, знайшовши нескінченно багато випадків, в яких виконується рівність. Нерівність невірна для позитивних характеристик — Ленг і Істон навели приклади поверхонь з характеристикою p, такі як узагальнена поверхня Рейно, для яких нерівність не виконується.

Формулювання нерівності

Зазвичай нерівність Богомолова — Міаокі — Яу формулюється в такий спосіб.

Нехай X — компактна комплексна поверхня загального типу, і нехай $c_{1}=c_{1}(X)$ і $c_{2}=c_{2}(X)$ — перший і другий клас Чжен комплексного дотичного розшарування поверхні. Тоді

$c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}.$

Посилання

• Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., т. 4, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
• Barthel, Gottfried; Hirzebruch, Friedrich; Höfer, Thomas (1987), Geradenkonfigurationen und Algebraische Flächen, Aspects of Mathematics, D4, Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, ISBN 978-3-528-08907-8, MR 0912097
• Bogomolov, Fedor A. (1978), Holomorphic tensors and vector bundles on projective manifolds, Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya, 42 (6): 1227—1287, ISSN 0373-2436, MR 0522939
• Borel, Armand (1963), Compact Clifford-Klein forms of symmetric spaces, Topology. an International Journal of Mathematics, 2 (1-2): 111—122, doi:10.1016/0040-9383(63)90026-0, ISSN 0040-9383, MR 0146301
• Cartwright, Donald I.; Steger, Tim (2010), Enumeration of the 50 fake projective planes, Comptes Rendus Mathématique, Elsevier Masson SAS, 348 (1): 11—13, doi:10.1016/j.crma.2009.11.016
• Easton, Robert W. (2008), Surfaces violating Bogomolov-Miyaoka-Yau in positive characteristic, Proceedings of the American Mathematical Society, 136 (7): 2271—2278, arXiv:math/0511455, doi:10.1090/S0002-9939-08-09466-5, ISSN 0002-9939, MR 2390492
• Ishida, Masa-Nori (1988), An elliptic surface covered by Mumford's fake projective plane, The Tohoku Mathematical Journal. Second Series, 40 (3): 367—396, doi:10.2748/tmj/1178227980, ISSN 0040-8735, MR 0957050
• Lang, William E. (1983), Examples of surfaces of general type with vector fields, Arithmetic and geometry, Vol. II, Progr. Math., т. 36, Boston, MA: Birkhäuser Boston, с. 167—173, MR 0717611
• Miyaoka, Yoichi (1977), On the Chern numbers of surfaces of general type, Inventiones Mathematicae, 42 (1): 225—237, Bibcode:1977InMat..42..225M, doi:10.1007/BF01389789, ISSN 0020-9910, MR 0460343
• Mumford, David (1979), An algebraic surface with K ample, (K²)=9, p_g=q=0, American Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, 101 (1): 233—244, doi:10.2307/2373947, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373947, MR 0527834
• Prasad, Gopal; Yeung, Sai-Kee (2007), Fake projective planes, Inventiones Mathematicae, 168 (2): 321—370, arXiv:math/0512115, Bibcode:2007InMat.168..321P, doi:10.1007/s00222-007-0034-5, MR 2289867
• Prasad, Gopal; Yeung, Sai-Kee (2010), Addendum to "Fake projective planes", Inventiones Mathematicae, 182 (1): 213—227, arXiv:0906.4932, Bibcode:2010InMat.182..213P, doi:10.1007/s00222-010-0259-6, MR 2672284
• Van de Ven, Antonius (1966), On the Chern numbers of certain complex and almost complex manifolds, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, National Academy of Sciences, 55 (6): 1624—1627, Bibcode:1966PNAS...55.1624V, doi:10.1073/pnas.55.6.1624, ISSN 0027-8424, JSTOR 57245, MR 0198496, PMC 224368
• Yau, Shing Tung (1977), Calabi's conjecture and some new results in algebraic geometry, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, National Academy of Sciences, 74 (5): 1798—1799, Bibcode:1977PNAS...74.1798Y, doi:10.1073/pnas.74.5.1798, ISSN 0027-8424, JSTOR 67110, MR 0451180, PMC 431004
• Yau, Shing Tung (1978), On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge-Ampère equation. I, Communications on Pure and Applied Mathematics, 31 (3): 339—411, doi:10.1002/cpa.3160310304, ISSN 0010-3640, MR 0480350