Нерівність Бесселя

В математиці, нерівність Бесселя — твердження про коефіцієнти елемента $x$ у гільбертовому просторі стосовно ортонормованої послідовності.

Нехай $H$ — гільбертів простір, і $e_{1},e_{2},...$ — ортонормована послідовність елементів $H$. Тоді для довільного $x\in H$ виконується нерівність:

$\sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}$

де <∙,∙> позначає скалярний добуток у просторі $H$. Нерівність Бесселя випливає з наступної рівності:

$0\leq \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2},$

що виконується для довільного $n\geq 1$.

Посилання

• Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. — Москва : Наука, 1965.(рос.)
• П.П. Вагін, Б.А. Остудін, Г.А. Шинкаренко. Основи функціонального аналізу (Курс лекцій). — Львів : Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2005. — С. 109. — ISBN УДК 517.98(042.4).