Модель де Муавра

Модель де Муавра — математична модель, що застосовується в актуарних розрахунках для аналізу виживаності.

Аналітичні закони смертності

В основі актуарних розрахунків лежить щільність імовірностей f(x) і обумовлені нею функції S(x), μx та інші характеристики. Ясно, що ці розрахунки будуть простішими, якщо відомий аналітичний вигляд функції f(x) з точністю ряду параметрів, які можна оцінити за статистичними даними про тривалість життя людей.

Модель де Муавра

У 1729 р. Абрахам де Муавр запропонував вважати, що тривалість життя рівномірно розподілена на інтервалі $[0,\Omega ]$, де $\Omega$ — це граничний вік людини, тобто:

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}\left({\frac {1}{\Omega }}\right),&x\in [0,\Omega ],\\0,&x\notin [0,\Omega ].\end{matrix}}\right\},$ (1)

Це найбільш проста апроксимація кривої життя f(x). У рамках моделі Муавра легко знаходяться функції виживаності S(x), розподіл F(x), інтенсивність смертності μx і необхідні числові характеристики (середнє, дисперсія та ін.).

Очевидно, що $F(x)=\int _{0}^{x}f(x)\,dt=\int _{0}^{x}\left({\frac {1}{\Omega }}\right)\,dt=x/\Omega ,$ при $x\leq \Omega ,$

якщо $x>\Omega$, тоді $F(x)=\int _{0}^{\Omega }\left({\frac {1}{\Omega }}\right)\,dt+\int _{\Omega }^{x}0\,dt=1.$

$F(x)=\left\{{\begin{matrix}\left({\frac {x}{\Omega }}\right),&x\in [0,\Omega ],\\1,&x\notin [0,\Omega ]\end{matrix}}\right\},$ (2)

$S(x)=1-F(x)=\left\{{\begin{matrix}1-\left({\frac {x}{\Omega }}\right),&x\in [0,\Omega ]\\0,&x>\Omega \end{matrix}}\right\}$ ,

$\mu (x)={\frac {f(x)}{s(x)}}={\frac {\frac {1}{\Omega }}{1-{\frac {x}{\Omega }}}}={\frac {1}{\Omega -x}},$ при $x\in (0,\Omega ].$

Для інших значень x інтенсивність смертності не визначена. За формулами середнього часу життя та дисперсії тривалості життя одержуємо:

$e_{0}=\int _{0}^{\Omega }S(x)\,dx=\Omega /2,$

$EX^{2}=2\int _{0}^{\Omega }x(1-x/\Omega )dx=\Omega ^{2}/3,$

$\sigma ^{2}=\Omega ^{2}/12,$ $\sigma =\Omega /2{\sqrt {3}}.$(3)

На підставі дослідних і статистичних даних про тривалість життя модель Муавра можна вважати дуже грубою. Реально її можна використовувати для апроксимації функції виживання на певному інтервалі часу.

Джерела

• Актуарні розрахунки
• Визначення страхового тарифу в страхуванні життя [Архівовано 4 березня 2016 у Wayback Machine.]
• Актуарна математика. Ч. 1: навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. / упоряд.: О. М. Іє, С. А. Сотникова; Держ. закл. «Луган. нац. ун-т імені Тараса Шевченка». — Луганськ: Вид-во ДЗ «ЛНУ імені Тараса Шевченка», 2009. — 132 с.