У термодинаміці і фізиці твердого тіла модель Дебая — метод, розвинений Дебаєм в 1912 р. для оцінки фононного внеску до теплоємності твердого тіла. Модель Дебая розглядає коливання кристалічної ґратки як газ квазічастинок (фононів) у ящику, на відміну від моделі Ейнштейна, яка інтерпретує тверде тіло як набір багатьох окремих невзаємодіючих квантових гармонічних осциляторів). Ця модель точніше передбачає залежність теплоємності за низьких температур як такої, що пропорційна  — так званий закон Дебая. У граничному випадку високих температур величина теплоємності за моделлю Дебая збігається з результатом моделі Ейнштейна, прямуючи до , відповідно до закону Дюлонга — Пті. Однак за проміжних температур точність моделі Дебая зменшується внаслідок її певних спрощувальних припущень.

Статистична фізика
Термодинаміка
Кінетична теорія

Молярна теплоємність твердого тіла в теорії ДебаяРедагувати

У моделі Дебая враховано, що теплоємність твердого тіла це параметр рівноважного стану термодинамічної системи. Тому хвилі, що збуджуються в твердому тілі елементарними осциляторами, не можуть переносити енергію. Тобто вони є стоячими хвилями [1]. Якщо тверде тіло вибрати у вигляді прямокутного паралелепіпеду з ребрами a, b, c, то умови існування стоячих хвиль можна записати у вигляді:

n1·λx/2=a; (1)

n2·λy/2=b; (2)

n3·λz/2=c; (3)

(n1, n2, n3 — цілі числа)

Перейдемо до простору, побудованого на хвильових векторах. Оскільки

K=2π/λ, (4)

то

Kx=2π/λx=π·n1/a; (5)

Ky=2π/λy=π·n2/b; (6)

Kz=2π/λz=π·n3/c (7)

Таким чином, у твердому тілі можуть існувати осцилятори, з частотами, що змінюються дискретно. Одному осцилятору в К-просторі відповідає комірка з об'ємом

τ=∆Kx·∆Ky·∆Kz= , (8)

де

∆Kx=π/a; (9)

∆Ky=π/b; (10)

∆Kz=π/c (11)

В к-просторі осциляторам з частотами в інтервалі (ω, ω+dω) відповідає один октант сферичного шару з об'ємом

dVk=4πK2dK/8=πK2dK/2 (12)

В цьому об'ємі кількість осциляторів дорівнює

dNk=dVk/τ=  (13)

Врахуємо, що кожен осцилятор генерує 3 хвилі: 2 поперечні та одну поздовжню. При цьому

K||=ω/v||, (14)

K=ω/v (15)

Знайдемо внутрішню енергію одного молю твердого тіла  . Для цього обчислимо кількість коливань, що відповідають поздовжнім і поперечним хвилям.

  (16)

  (17)

  (18)

  (19)

Тому   дорівнює

  (20)

де <є> — середня енергія квантового осцилятора (див. Модель теплоємності Ейнштейна).

Коливання у твердому тілі обмежені максимальним значенням частоти  . Визначимо граничну частоту з умови:

  (21)

  (22)

Звідси:

  (23)

Кв — постійна Больцмана.

Na — число Авогадро.

В останньому виразі зробимо наступну заміну змінних:

 ; (24)

 ; (25)

 ; (26)

  (27)

Θ — температура Дебая

Тепер для UM отримуємо

 

  (28)

Нарешті для молярної теплоємності отримуємо

C=dUM/dT=3R  (29)

Легко перевірити, що за умови T→∞

C→3R, (30)

а за умови T→0

C→ ~T3 (31)

Таким чином, теорія Дебая відповідає результатам дослідів.

Інтеграл Бозе-ЕйнштейнаРедагувати

Обчислимо для повноти викладу визначений інтеграл

  (32)

Позначимо

  (33)

Можна показати, що

  (34)

Аналогічно

  (35)

При збільшенні кількості доданків до нескінченності отримуємо

  (36)

Знайдемо суму ряду з використанням теореми Парсеваля. Для цього розкладемо функцію

  (37)

в ряд Фур'є на інтервалі  . Коефіцієнти розкладу дорівнюють

  (38)

  (39)

Таким чином

  (40)

і

  (41)

Згідно теореми Парсеваля

  (42)

Спрощуючи останній вираз, отримуємо остаточно

  (43)

ЛітератураРедагувати

  • Погорєлов В. Є., Слободянюк О. В., Єщенко О. А., Конділенко О. І., Шутов Б. М. Фізичний практикум (Частина II. Молекулярна Фізика). — К. : ВПЦ "Київський університет", 2004. — 120 с.
  • Пінкевич І. П., Сугаков В. Й. Теорія твердого тіла. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2006. — 333 с.
  • Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
  • Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. — М. : Наука, 1978. — 792 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1 // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2005. — Т. 5. — 616 с.