Модель Ізінга

Модель Ізінга — модель статистичної системи, в якій можуть спостерігатися фазові переходи.

В моделі Ізінга «частинки» розташовані у вузлах регулярної ґратки і можуть перебувати в одному з двох станів. Кожну з них можна описати параметром, який умовно називають «спіном» і позначають S. Спін має значення +1 в одному з станів, і значення −1 в іншому. Частинки у різних вузлах ґратки взаємодіють між собою, причому енергія цієї взаємодії залежить від взаємної орієнтації «спінів». Повна енергія системи записується у вигляді:

$E=-\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}\,$

Зазвичай при розгляді моделі Ізінга обмежуються найближчими сусідами, тому енергію можна записати, як

$E=-J\sum _{ij}S_{i}S_{j}\,$.

При додатних значеннях параметра J найменшу енергію має стан із паралельними спінами — усі спіни однинакові. Цей стан аналогічний феромагнітному.

При J < 0 найменшу енергію має антиферомагнітний стан з чергуванням спінів +1 та −1.

Ймовірність реалізації кожного конкретного розподілу $\{S_{i}\}$ визначається його енергією і температурою.

$P=e^{-E/k_{B}T}$,

де P — ймовірність, T — температура, а $k_{B}$ — стала Больцмана.

При малій температурі ймовірність реалізації стану з найнижчою енергією найбільша, тобто система перебуватиме у впорядковому стані — феромагнітному або антиферомагнітному. При збільшенні температури ймовірності реалізації станів з різною енергією вирівнюються й більшу вагу має кількість різних мікростанів, які мають дану енергію, тобто ентропія. Ця кількість більша для невпорядкованих станів. При певній температурі можливий фазовий перехід.

Зовнішнє поле

Фазовий перехід можливий також в залежності від зовнішнього «магнітного поля». В такому полі енергія задається формулою

$E=-\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}-h\sum _{i}S_{i}\,$,

де h — напруженість поля. Таким чином можна досліджувати поведінку системи не лише в залежності від температури, а також в залежності від зовнішніх факторів.

Розв'язки

Для двовимірної системи модель Ізінга має точний аналітичний розв'язок, отриманий Ларсом Онсагером.

Історія

Модель отримала свою назву від прізвища німецького вченого Ернста Ізінга. Ізінг досліджував одновимірний випадок і показав, що в цьому випадку фазового переходу не існує. Звідси він зробив неправильний висновок, що фазового переходу не існує в системі з довільним числом вимірів. Подальші дослідження показали, що фазовий перехід існує для нескінченної ґратки у двовимірному випадку і для будь-якого числа вимірів, більшого за двійку.

Література

• Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. — М. : Мир, 1985. — 488 с.
• Сазерленд Б. Замечательные модели. — Ижевск : РХД, 2008. — 388 с.
• Цвелик А. М. Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния. — М. : Физматлит, 2004. — 320 с.
• Stepanov I. A. Exact Solutions of the One-Dimensional, Two-Dimensional, and Three-Dimensional Ising Models. – Nano Science and Nano Technology: An Indian Journal. 2012. Vol. 6. No 3. 118 - 122. The paper is on the Journal’s website with a free access.