Метод Кранка-Ніколсон

Метод Кранка-Ніколсон — це спеціальний чисельний метод розв'язку диференціальних рівнянь з частинними похідними в обчислювальній математиці, за допомогою особливої схеми методу скінченних різниць, зокрема для рівняння теплопровідності та дифузії. Це неявний метод 2 порядку і є чисельно стабільним щодо кроку різницевої сітки. Метод винайшли в середині 20-го століття англійські вчені Джон Кранк та Филліс Ніколсон.

Для рівняння теплопровідності, дифузії і багатьох інших схожих рівнянь можна довести, що метод Кранка-Ніколсон є безумовно чисельно стабільним. Проте, при використанні великого кроку сітки (коли $\Delta t/\Delta x^{2}>0.5$) розв'язок може містити сильні коливання. У випадку, коли крок різницевої сітки змінити неможливо, при нестабільності розв'язку рекомендується використовувати менш точний, але також чисельно стабільний неявний зворотній метод Ейлера.

Опис методу

Різницева схема сітки в методі Кранка-Ніколсон для одновимірної задачі

Неявна схема, яку винайшли Джон Кранк та Филліс Ніколсон ґрунтується на чисельному наближенню параболічного диференціального рівняння другого порядку. Як приклад візьмемо одновимірне рівняння теплопровідності

$u_{t}(x,t)=c^{2}u_{xx}(x,t)$

для $0\leq x<a$ та $0<t<b$ з початковою умовою $u(x,0)=f(x)$ та крайовими умовами $u(0,t)=g_{1}(t)$ ; $u(a,t)=g_{2}(t)$ в точці $(x,t+\Delta t/2)$ котра знаходиться між рядами різницевої сітки з кроком $h=\Delta x$ та $k=\Delta t$.

Тоді для похідних отримаємо

$u_{t}(x,t+k/2)={\frac {u(x,t+k)-u(x,t)}{k}}+O(k^{2})$

$u_{xx}(x,t+k/2)={\frac {1}{2h^{2}}}\left(u(x-h,t+k)-2u(x,t+k)+u(x+h,t+k)+u(x-h,t)-2u(x,t)+u(x+h,t)\right)+O(h^{2})$

Тобто використовується середнє значення наближень похідних $u_{xx}(t,k)$ та $u_{xx}(x,t+k)$ для наближення $u_{xx}(x,t+k/2)$

Підставляючи ці вирази в рівняння теплопровідності (і спрощуючи запис $u(x_{j},t_{n})\rightarrow u_{j,n}$ ) отримаємо

${\frac {u_{j,n+1}-u_{j,n}}{k}}=c^{2}{\frac {u_{j-1,n+1}-2u_{j,n+1}+u_{j+1,n+1}+u_{j-1,n}-2u_{j,n}+u_{j+1,n}}{2h^{2}}}$

Використовуємо для зручності $r=c^{2}k/h^{2}$ і переносимо всі значення функції з часом $t+k$ в ліву частину рівняння.

Після впорядкування членів рівняння отримаємо неявну різницеву схему для $j=2,3,...,N-1$

$-r\,u_{j-1,n+1}+(2+2r)u_{j,n+1}-r\,u_{j+1,n+1}=(2-2r)u_{j,n}+r(u_{j-1,n}+u_{j+1,n})$

Рівняння у такій формі має вигляд тридіагональної системи алгебраїчних рівнянь

$AX=B$

і розв'язується звичайними прямими чи ітераційними методами лінійної алгебри.

В схемі Кранка-Ніколсон використовується шість точок основної різницевої сітки для наближення проміжної точки $u_{xx}(x,t+k/2)$, на якій базуються всі чисельні наближення.