Лема Ріса — твердження в функціональному аналізі про властивості лінійних замкнутих просторів у нормованому просторі. Названа на честь угорського математика Фридєша Ріса, що опублікував доведення у випадку гільбертових просторів у 1918 році[1].

Твердження

ред.

Нехай Y — замкнутий лінійний підпростір нормованого простору X. Тоді для довільного дійсного числа, такого що 0 < α < 1 існує такий елемент xX, що

 

і також

 

для всіх yY. Іншими словами

 ,

де d(x, Y) позначає відстань елемента x від множини Y щодо норми нормованого простору X.

Доведення

ред.
  • Нехай елемент vX \ Y і також позначимо
 
Оскільки підпростір Y є замкнутим, то a > 0. З визначення інфімуму випливає існування такого елемента y0Y, що
 
Нехай x = c(v — y0), де
 
Норма елемента x рівна 1. Окрім того, для кожного yY
 
Оскільки
 
то також
 
Отже,
 
що завершує доведення.

Примітки

ред.
  1. Frigyes Riesz, Über lineare Funktionalgleichungen, Acta Math., 41 (1918), 71–98.

Джерела

ред.
  • Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
  • Березанський Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функціональний аналіз : [укр.] = Functional Analysis, Vol. I, Kyiv : Institute of Mathematics, 2010. : [пер. з англ.] : підручник. — Л. : Видавець Чижиков І. Е., 2014. — С. 559. — (Університетська бібліотека). — ISBN 978-966-2645-12-5.