Лема Ріса
Лема Ріса — твердження в функціональному аналізі про властивості лінійних замкнутих просторів у нормованому просторі. Названа на честь угорського математика Фридєша Ріса, що опублікував доведення у випадку гільбертових просторів у 1918 році[1].
Твердження
ред.Нехай Y — замкнутий лінійний підпростір нормованого простору X. Тоді для довільного дійсного числа, такого що 0 < α < 1 існує такий елемент x ∈ X, що
і також
для всіх y ∈ Y. Іншими словами
- ,
де d(x, Y) позначає відстань елемента x від множини Y щодо норми нормованого простору X.
Доведення
ред.- Нехай елемент v ∈ X \ Y і також позначимо
- Оскільки підпростір Y є замкнутим, то a > 0. З визначення інфімуму випливає існування такого елемента y0 ∈ Y, що
- Нехай x = c(v — y0), де
- Норма елемента x рівна 1. Окрім того, для кожного y ∈ Y
- Оскільки
- то також
- Отже,
- що завершує доведення.
Примітки
ред.- ↑ Frigyes Riesz, Über lineare Funktionalgleichungen, Acta Math., 41 (1918), 71–98.
Джерела
ред.- Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
- Березанський Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функціональний аналіз : [укр.] = Functional Analysis, Vol. I, Kyiv : Institute of Mathematics, 2010. : [пер. з англ.] : підручник. — Л. : Видавець Чижиков І. Е., 2014. — С. 559. — (Університетська бібліотека). — ISBN 978-966-2645-12-5.