Ланцюг Тоди

Ланцю́г Тоди — система дискретних нелінійних рівнянь, які описують динаміку взаємопов'язаних нелінійних осциляторів. Має важливе значення у теорії коливань кристалічних ґраток.

Система у загальному випадку має вигляд:

$m{\ddot {r}}_{n}=2f(r_{n})-f(r_{n+1})-f(r_{n-1})$

де $r_{n}(t)$ має сенс величини відхилення n-го осцилятора від положення рівноваги, а $f(r_{i})$ — нелінійна функція, яка має сенс повертаючої сили, діючої на осцилятор $i$. Точки означають взяття операції диференціювання.

Визначення

Ланцюгом тоди називається нескінченна система рівнянь

${\ddot {q}}_{j}=e^{q_{j-1}-q_{j}}-e^{q_{j}-q_{j+1}}$

на функції $q_{j}=q_{j}(t).$

Ланцюг Тоди є гамільтоновою системою із гамільтоніаном

$H={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}p_{j}^{2}+\sum _{j=1}^{n-1}e^{q_{j}-q_{j+1}}$

відносно стандартної дужки Пуасона, де $p_{j}={\dot {q}}_{j}.$

Звичайний неперіодичний ланцюг Тода — це система з $n$ взаємодіючих частинок на прямій із гамільтоніаном

$H={\frac {1}{2}}\sum _{1}^{n}p_{j}^{2}+g^{2}\sum _{1}^{n-1}\exp[2(q_{j}-q_{j+1})].$

Для періодичного випадку така система характеризується гамільтоніаном

$H'={\frac {1}{2}}\sum _{1}^{n}p_{j}^{2}+g^{2}\sum _{1}^{n}\exp[2(q_{j}-q_{j+1})],\quad \quad q_{n+1}=q_{1}.$

Тут $q_{j}$ — координата частинки $j,\,\,p_{j}$ — її імпульс.

Після переходу у систему центру мас ($\sum _{1}^{n}p_{j}=0$) отримуємо систему із $n-1$ ступенем вільності. За допомогою зсувів координат $q_{j}\rightarrow q_{j}+a_{j}$ можна перейти до випадку $g=1$ для неперіодичного ланцюга й до гамільтоніану

$H''={\frac {1}{2}}\sum _{1}^{n}p_{j}^{2}+\sum _{j=1}^{n-1}\exp[2(q_{j}-q_{j+1})]+f^{2}\exp[2(q_{n}-q_{1})]$

для періодичного ланцюга.

Рівняння руху у неперіодичному випадку (за $g=1$) мають вигляд

${\begin{cases}{\dot {q}}_{j}=p_{j},\quad j={\overline {1,n}};\\{\dot {p}}_{1}=-2\exp[2(q-{1}-q_{2})],\quad {\dot {p}}_{n}=2\exp[2(q_{n-1}-q_{n})],\\{\dot {p}}_{j}=-2\exp[2(q_{j}-q_{j+1})]+2\exp[2(q_{j-1}-q_{j})],\quad j={\overline {2,(n-1)}}.\end{cases}}$

У періодичному ж випадку маємо:

${\dot {q}}_{j}=p_{j},\quad {\dot {p}}_{j}=2\{\exp[2(q_{j-1}-q_{k})]-\exp[2(q_{j}-q_{j+1})]\}.$

Як у неперіодичному, так й у періодичному випадках мають $n$ інтегралів руху. Явний їх вигляд слідує з представлення Лакса, відкритого у роботах Флашки й Манакова.

Див. також

• Теплоємність
• Рівняння синус-Ґордона
• Рівняння Кортевега де Фріза
• Метод Хіроти