Користувач:Rumarev/Оцінка точності побудови геодезичних мереж

План лекції

1. Оцінка точності рядів суцільних мереж тріагуляції.
2. Найвигідніша форма трикутників .
3. Оцінка точності елементів здвоєного ряду рівносторонніх трикутників при зрівноваженні по кутам за умови фігур , полюсів, горизонту , базисів і азимутів .
4. Створення локальних презиційних мереж для забезпечення облікової одиниці площі 1 кв.м.
   

Викладення матеріалу .
3.1. Оцінка точності рядів суцільних мереж тріангуляції.
Оцінка точності елементів суцільної мережі тріангуляції, побудованої із рівносторонніх трикутників при зріввноваженні по кутам за умови фігур , горизонтів і полюса ( вільних мереж ) виконують за формулами К.П.Проворова.
Для ряду тріангуляції, виділеного із мережі з N трикутниками між вихідними сторонами ( з вихідними базисами і азимутами ) і п трикутниками від вихідної сторони до визначаємо'!', середня квадратична похибка логарифма сторони :
m_lgSn=0.63μⁿ√n-1+10t_(n)
середня квадратична похибка азимута сторони:
m_am=0.3μⁿ√n-1+10t_(n)

В цих формулах t(n) =(1/2)n/2- (1/2)n+1для зручності підрахунків величини t(n) тубальовані.
Таблиця 3.1

n	t(n)	n	t(n)
1	0,457	11	0,022
2	0,375	12	0,016
3	0,291	13	0,011
4	0,219	14	0,008
5	0,161	15	0,006
6	0,117	16	0,004
7	0,084	17	0,003
8	0,060	18	0,002
9	0,043	19	0,002
10	0,031	20	0,001

3.2. Найвигідніша форма трикутників .
При дослідженні найвигіднішої форми трикутників необхідно врахувати слідуючі умови :

1. люба сторона трикутника вищого класу може бути вихідною стороною для тріангуляції нижчого класу , тому точність визначення зв'язуючої і проміжної сторін повинна бути однакова;
   
2. величина 1/р трикутника повинна бути найменшою ;
   
3. необхідно забезпечити найбільш точне визначення положення пунктів на всій території , де розвивається тріангуляція , для чого необхідно по можливості зменшувати загальне число трикутників ;
   
4. форма трикутників повинна сприяти нормальному розвитку ряда (мережі) в різних фізико-географічних умовах .
   

Перші дві умови об'єднаємо . Для того , щоб проміжна і зв'язуюча сторони n-го трикутника визначались з однаковою точністю , необхідно забезпечити рівність :
m_lgan=m_lgCn

Середні квадратичні похибки логарифма зв'язуючої сторони а n і проміжної сторони cn розраховуються за формулами :

${\begin{aligned}&m_{lga_{x}}={\sqrt {m_{lgb}^{2}+{\frac {2}{3}}m^{n}\sum _{l}^{n}(\delta _{A_{2}{'}}^{2}+\delta _{B_{2}{'}}^{2}+\delta _{A_{2}{'}}\cdot \delta _{B_{2}{'}})}},&&{\text{(3.7)}}\\&m_{lga_{x}}={\sqrt {m_{lgb}^{2}+{\frac {2}{3}}m^{n2}\sum _{l}^{n-1}(\delta _{A_{2}{'}}^{2}+\delta _{B_{2}{'}}^{2}+\delta _{A_{2}{'}}\cdot \delta _{B_{2}{'}})+\delta _{C_{2}{'}}^{2}+\delta _{B_{2}{'}}^{2}\delta _{C_{2}{'}}^{2}\cdot \delta _{B_{2}{'}}^{2}}},&&{\text{(3.8)}}\end{aligned}}$

підставляючи (3.7), (3.8) у (3.6), отримаємо:

$\sum _{l}^{n}(\delta _{A}^{2}+\delta _{B}^{2}+\delta _{A}^{2}\cdot \delta _{B}^{2})=\sum _{l}^{n-1}(\delta _{A}^{2}+\delta _{B}^{2}+\delta _{A}^{2}\cdot \delta _{B}^{2})+\delta _{C_{x}}^{2}+\delta _{B_{x}}^{2}+\delta _{C_{x}}\cdot \delta _{B_{x}}$

Тобто

$\delta _{A_{x}}^{2}+\delta _{A_{x}}\delta _{B_{x}}+\delta _{B_{x}}^{2}=\delta _{C_{x}}^{2}+\delta _{C_{x}}+\delta _{B_{x}}+\delta _{B_{x}}^{2}$,

звідки

${\begin{aligned}\delta _{A_{x}}^{2}+\delta _{A_{x}}\delta _{B_{x}}=\delta _{C_{x}}^{2}+\delta _{C_{x}}^{2}+\delta _{B_{x}}&&{\text{(3.9)}}\\\end{aligned}}$

Эамінюючи в цьому рівнянні величини δ їх значеннями з виразу:

${\begin{aligned}\delta _{A_{x}}={\frac {M}{\rho ^{n}}}ctgA&&{\text{(3.10)}}\\\end{aligned}}$

і поділивши ліву і праву частини рівності на ${\frac {M}{\rho ^{n}}}$, отримаємо:

$ctg^{2}A_{n}+ctgA_{n}ctgB_{n}=ctg^{2}C_{n}+ctgC_{n}ctgB_{n}$.

Така рівність можлива, якшо:

$ctgA_{n}=ctgC_{n}$

і тому

${\begin{aligned}A_{n}=C_{n}&&{\text{(3.11)}}\end{aligned}}$

Тобто трикутники ряду повинні бути рівнобедренними з рівними кутами при вершинах А і С . При цьому кути В в трикутниках повинні задовольняти рівності : Bk=180-2Ak/
Величина оберненої ваги сторони для трикутника :

${\frac {1}{\rho }}={\frac {2}{3}}(\delta _{A}^{2}+\delta _{A}\cdot \delta _{B}+\delta _{C}^{2})={\frac {2}{3}}{\frac {M^{2}}{\rho ^{n2}}}(ctg^{2}A+ctgA\cdot ctgB+ctg^{2}B)$

Эамінюючи в цій формулі кут В через 180°$180^{\circ }-2A$, отримаємо:

${\begin{aligned}{\frac {1}{\rho }}={\frac {2}{3}}{\frac {M^{2}}{p^{n2}}}(ctg^{2}A-ctgA\cdot ctg2A+ctg^{2}2A)&&{\text{(3.12)}}\end{aligned}}$

Необхідно знайти значення кута А , при якому функція 1/р буде мінімальною .
Рішаючи цю задачу за правилами диференційного числення , знаходимо для кута А значення 52°4б'. Таким чином , якщо трикутники ряду мають кути А = 52°4б' ; С = 52°46' ; В = 74°28' , то всі їх сторони визначаються з однаковою і найменшою похибкою .
Величина 1/р для такого трикутника рівна 2,5 одиниці шостого знаку логарифма.
Третя умова зменшення загального числа трикутників краще всього виконується при рівностронніх трикутниках , тому що при одномо і тому ж периметрі вони мають найбільшу площу в порівнянні з трикутниками любої другої форми . Величина 1/р для рівностороннього трикутника рівна 2,9 одиниці шостого знаку логарифму .
Розглянемо тепер останню умову . Рельєф місцевості часто створює труднощі для нормального прокладення тріангуляції в потрібному напрямку . Тому фактичні трикутники в загальному випадку не будуть задовольняти оптимальним умовам , але в сукупності доцільно підібрані трикутники можуть дозволити розвинути мережу з найменшим збільшенням величини 1/р і з більшими перевагами по відношенню до місцерозташування пунктів , висоти сигналів і збереження загального напрямку тріангуляції.
Висновки.

1. Якщо виходити із умови , що всі сторони трикутників були визначені з однаковою найменшою похибкою , то розміри трикутників будуть зменшуватись і ряд не буде мати прямолінійного напрямку.
2. При рівносторонніх трикутниках площі їх зберігаються і добре витримується прямолійність направлення ряду.
3. Так , як різниця у величинах 1/р незначна , то без врахування особливостей рельєфу слід признати найбільш вигідним рівносторонній трикутник.
4. В конкретних умовах виробництва слід брати до уваги не один , а групу суміжних трикутників .
5. Згідно Інструкції про побудову державної геодезичної мережі, кути в трикутниках тріангуляції 1 класу повинні бути не менші 40°, в геодезичних чотирикутниках і центральних системах - не менше 30°, а мережах тріангуляції 2-4 класів в окремих випадках допускається величина кута 20° .

Оцінка точності елементів здвоєного ряду рівносторонніх трикутників при зрівноваженні по кутам за умови фігур , полюсів , горизонту , базисів і азимутів .