Користувач:An-tu/ПК:ВА

Векторний аналіз

До полярних координат можна застосувати елементи векторного аналізу. Будь-яке векторне поле $\mathbf {F}$ можна записати в полярній системі координат, використовуючи одиничні вектори

$\mathbf {e} _{r}=(\cos \varphi ,\sin \varphi )\,$

у напрямку $\mathbf {r}$, і

$\mathbf {e} _{\varphi }=(-\sin \varphi ,\cos \varphi )\,$:

$\mathbf {F} =F_{r}\mathbf {e} _{r}+F_{\varphi }\mathbf {e} _{\varphi }$.

Зв'язок між декартовими компонентами поля $F_{x}\,$ та $F_{y}\,$ і його компонентами в полярній системі координат задається рівняннями:

$F_{x}=F_{r}\cos \varphi -F_{\varphi }\sin \varphi \,$

$F_{y}=F_{r}\sin \varphi +F_{\varphi }\cos \varphi \,$

Оскільки полярні координати утворюють косокутний базис, то стандартні поняття векторного аналізу (градієнт, дивергенція, ротор та ін.) будуть мати коефіцієнти Ламе, відмінні від одиниці. Знайдемо їх.

За означенням, коефіцієнти Ламе рівні:

$H_{i}={\sqrt {\left({\frac {\partial x}{\partial q_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial y}{\partial q_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial q_{i}}}\right)^{2}}};\ i=1,\;2,\;3$

Для нашого випадку:

$\left\{{\begin{matrix}x=r\cos {\varphi };\\y=r\sin {\varphi };\\q_{i}=(r,\varphi ).\end{matrix}}\right.$

Отже, отримаємо такі значення коефіцієнтів:

$H_{r}={\sqrt {\left({\frac {\partial x}{\partial r}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial y}{\partial r}}\right)^{2}}}={\sqrt {\sin ^{2}\varphi +\cos ^{2}\varphi }}=1$

$H_{\varphi }={\sqrt {\left({\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\right)^{2}+\left({\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\right)^{2}}}={\sqrt {r^{2}\sin ^{2}\varphi +r^{2}\cos ^{2}\varphi }}=r$

Отже, тепер для скалярного поля $\Phi (r,\varphi )\,$ та вектороного $A(r,\varphi )\,$ маємо співвідношення:

$\operatorname {grad} \Phi ={\frac {1}{H_{r}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{H_{\varphi }}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }={\frac {\partial \Phi }{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }$

$\operatorname {div} \mathbf {A} =\operatorname {div} (rA_{r}+\mathbf {\varphi } A_{\varphi })={\frac {1}{H_{r}H_{\varphi }}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}(A_{r}H_{\varphi })+{\frac {\partial }{\partial \varphi }}(A_{\varphi }H_{r})\right]={\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}(rA_{r})+{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right]$

$\operatorname {rot} \mathbf {A} =0\,$